Em análise complexa, o teste fundamental da normalidade (também conhecido como teorema forte de Montel, teorema extendido de Montel ou condição dos três pontos) exibe condições suficientes para testar a normalidade de famílias de funções holomorfas (ou meromorfas).
Enunciado do teorema O teorema é enunciado para duas classes de funções diferentes.
Enunciado para famílias holomorfas Seja uma família de funções holomorfas definidas em um domínio . Se existem tais que e , então é normal em .
Enunciado para famílias meromorfas Seja uma família de funções meromorfas definidas em um domínio . Se existem tais que e, então é normal em .
Note que quando , voltamos para o caso das famílias holomorfas. Além disso, a convergência é dada com respeito à métrica esférica.
Exemplos
Um produto de Blaschke finito é uma função dada por , onde e . Sabemos que funções do tipo com são um automorfismo do disco , e portanto, quando restringimos ao disco, temos Disso segue que se tomarmos e , vemos que . Então, pelo Teorema forte de Montel, a família é normal. Seguindo a linha de raciocínio do exemplo anterior, se para dados e , se uniformemente limitada em , então é normal em
Aplicações em dinâmica complexa De maneira geral, um sistema dinâmico é um par ordenado , onde é um espaço topológico e é uma função que define a dinâmica (como se fosse um fluxo). Neste caso, consideraremos um sistema dinâmico complexo, que consiste em com meromorfa.
Conjuntos de Julia e Fatou Muitos aspectos dos estudos em sistemas dinâmicos envolvem o conceito de caos e não caos. Mais especificamente, em dinâmica complexa, os conjuntos de Fatou e Julia caracterizam esses aspectos.
Como uma definição formal, chamamos A sequência é normal de conjunto de Fatou e de conjunto de Julia. Aqui vemos uma relação direta entre normalidade e não-caoticidade.
Vizinhanças do conjunto de Julia Seja uma função meromorfa em um domínio e z_0 \in J(f) e vizinhança de . Por definição, não é normal em , então pelo Teorema forte de Montel, vale que omite no máximo 2 valores, isto é: . Intuitivamente, isso quer dizer que a dinâmica gerada por numa vizinhança (de tamanho arbitrário) do conjunto de Julia se alastra por toda a esfera de Riemman. Isso caracteriza um comportamento caótico, e por isso nos referimos ao conjunto de Julia como tal.
Ideia da demonstração Nas hipóteses do teorema (forte), temos que toda em omite os valores distintos . Usando conjugações por homotetias e transformações de Möbius, conseguimos fazer com que , , e que o disco unitário (sem alterar as propriedades de convergencia pois são mapas conformes). Inicialmente, notamos que as funções meromorfas agora não atingem infinito, e portanto, são holomorfas. Agora, como as não atingem e são holomorfas, podemos definir suas raízes. Isto é
Agora note que como as omitem , as funções em omitem as -ésimas raizes da unidade. Por absurdo, suponha que não é normal, e portanto, também não é normal. Combinando o Lema de Zalcman e o teorema de Marty, conseguimos uma sequencia normal de funções zoom cujo limite (a menos de subsequência) é uma não constante holomorfa que omite todas as -ésimas raízes da unidade (pelo Teorema de Hurwitz). Podemos usar o Teorema do mapeamento aberto para afirmar que omite . Agora note que por continuidade, é conexo , e portanto, ou , e independentemente o Teorema de Liouville vai implicar que é constante, o que é absurdo.
Ver também
Teorema de Montel
Referências Categoria:Análise complexa