En matemáticas, dise que dúas matrices cadradas A e B son semellantes se existe unha matriz invertíbel P tal que .
A semellanza é unha relación de equivalencia.
Dúas matrices son semellantes se e só se representan o mesmo endomorfismo dun espazo vectorial en dúas (posíbelmente) bases diferentes.
Non se debe confundir a noción de matrices semellantes coa de matrices equivalentes. Por outra banda, se dúas matrices son semellantes, entón son equivalentes. Unha forma de determinar se dúas matrices son semellantes é reducilas, é dicir, levalas a unha forma estándar: diagonal, forma canónica de Jordan ...
Invariantes de semellanza As aplicacións sobre o espazo de matrices cadradas cuxo resultado é idéntico para unha matriz e unha matriz semellante a ela chámanse invariantes de semellanza.
O rango, o polinomio característico (en particular o determinante, os valores propios e a traza) e o polinomio mínimo son invariantes de semellanza, pero non forman un sistema completo, é dicir, non sempre son suficientes para detectar a non semellanza de dúas matrices.
A descomposición de Frobenius proporciona un sistema completo de invariantes de semellanza. Permítenos demostrar que calquera matriz cadrada é semellante á súa transposta.
Exemplo As seguintes matrices son semellantes :
(a matriz compañeira do polinomio característico de ).
De feito, escollendo unha matriz de columna real distinta de cero. por exemplo , a continuación, facendo , , operando temos
agora con (invertíbel) = ,
conseguimos así
.
Comprobamos operando:
Notas
Véxase tamén
Bibliografía (A semellanza é discutida en moitos lugares, a partir da páxina 44.)
Outros artigos Teorema de Specht Semellanza Autosemellanza Ligazóns externas Similarity
Categoría:Matrices