miniatura| A función seno e todos os seus polinomios de Taylor son funcións impares. miniatura| A función coseno e todos os seus polinomios de Taylor son funcións pares. En matemáticas, unha función par é unha función real tal que para cada no seu dominio. Do mesmo xeito, unha función impar é unha función tal que para cada no seu dominio.
Noméanse pola paridade das potencias das funcións potencia que satisfán cada condición: a función é par se n é un enteiro par e é impar se n é un enteiro impar.
As funcións pares son aquelas funcións reais cuxa gráfica é autosimétrica en relación ao eixo e as impares son aquelas cuxa gráfica é autosimétrica en relación á orixe.
Definición e exemplos
Función par dereita|miniatura| é un exemplo dunha función par. Unha función real é par se, para todo no seu dominio, tamén está no seu dominio e ou equivalentemente
Xeométricamente, a gráfica dunha función par é simétrica en relación ao eixo y, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois da reflexión sobre o eixo y.
Exemplos de funcións pares son:
O valor absoluto
para calquera número enteiro par coseno coseno hiperbólico Función gaussiana
Función impar dereita|miniatura| é un exemplo dunha función impar. Unha función real é impar se, para cada no seu dominio, tamén está no seu dominio e ou equivalentemente
Xeométricamente, a gráfica dunha función impar ten simetría de rotación en relación á orixe, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois de xirar 180 graos sobre a orixe.
Se está no dominio dunha función impar , entón .
Exemplos de funcións impares son:
A función signo A función de identidade para calquera número enteiro impar seno seno hiperbólico A función erro
dereita|miniatura| non é par nin impar.
Propiedades analíticas O feito de que unha función sexa par ou impar non implica diferenciabilidade nin continuidade. Por exemplo, a función de Dirichlet é par, mais non é continua.
A continuación considéranse propiedades que inclúen derivadas, series de Fourier e series de Taylor, e suponse que estes conceptos están definidos para as funcións consideradas.
Propiedades analíticas básicas
A derivada dunha función par é impar. A derivada dunha función impar é par. A integral dunha función impar de −A a +A é cero (onde A pode ser finita ou infinita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A ). Para unha función impar que é integrábel nun intervalo simétrico, p , o resultado da integral sobre ese intervalo é cero; é . A integral dunha función par de −A a +A é o dobre da integral de 0 a +A (onde A é finita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A. Isto tamén é certo cando A é infinita, mais só se a integral converxe); é dicir .
Series
A serie de Maclaurin dunha función par inclúe só potencias pares. A serie de Maclaurin dunha función impar inclúe só potencias impares. A serie de Fourier dunha función par periódica inclúe só termos coseno. A serie de Fourier dunha función periódica impar inclúe só termos seno. A transformada de Fourier dunha función par puramente real é real e par. A transformada de Fourier dunha función impar puramente real é imaxinaria e impar. Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Función de Hermite para unha xeneralización en números complexos Serie de Taylor Serie de Fourier Método de Holstein-Herring
Categoría:Cálculo Categoría:Funcións