En matemáticas, a fórmula de De Moivre (tamén coñecida como teorema de De Moivre e identidade de De Moivre) afirma que para calquera número real e enteiro cúmprese que:
onde é a unidade imaxinaria ( ). A fórmula recibe o nome de Abraham de Moivre. A expresión ás veces abréviase como .
A fórmula é importante porque conecta números complexos e trigonometría. Ao expandir o lado esquerdo e despois comparar as partes real e imaxinaria baixo o suposto de que é real, é posíbel derivar expresións útiles para e en termos de e .
Tal e como está escrito, a fórmula non é válida para potencias non enteiras . Porén, hai xeneralizacións desta fórmula válidas para outros expoñentes. Estas poden ser usadas para dar expresións explícitas para as raíces -ésimas da unidade, é dicir, números complexos tal que .
Exemplo Para e , a fórmula de Moivre afirma que
ou equivalentemente que
Neste exemplo, é fácil comprobar a validez da ecuación multiplicando o lado esquerdo.
Relación coa fórmula de Euler A fórmula de De Moivre é un precursor da fórmula de Euler
con expresado en radiáns en lugar de graos, o que estabelece a relación fundamental entre as funcións trigonométricas e a función exponencial complexa.
Pódese derivar a fórmula de De Moivre usando a fórmula de Euler e a lei exponencial de potencias enteiras.
xa que a fórmula de Euler implica que o lado esquerdo é igual a mentres que o lado dereito é igual a
Fórmulas para coseno e seno individualmente Para unha igualdade de números complexos, temos necesariamente a igualdade tanto das partes reais como das partes imaxinarias de ambos os membros da ecuación. Se , e por tanto tamén e , son números reais, entón a identidade destas partes pódese escribir usando coeficientes binomiais. Esta fórmula foi dada polo matemático francés do século XVI François Viète:
Aquí están as instancias concretas destas ecuacións para e :
O lado dereito da fórmula para é de feito o valor do polinomio de Chebyshev en .
Análogos noutros escenarios
Trigonometría hiperbólica Dado que , un análogo á fórmula de Moivre tamén se aplica á trigonometría hiperbólica. Para todos os números enteiros ,
Se é un número racional (mais non necesariamente un enteiro), entón será un dos valores de .
Extensión a números complexos Para calquera número enteiro , a fórmula cúmprese para calquera número complexo
onde
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Función trigonométrica
Ligazóns externas De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.
Categoría:Trigonometría Categoría:Teoremas Categoría:Análise complexa