En matemáticas, particularmente na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de grupos, un subgrupo característico é un subgrupo que é asignado a si mesmo por cada automorfismo do grupo pai. Debido a que cada mapa de conxugación é un automorfismo interno, cada subgrupo característico é normal; aínda que a inversa non está garantida. Exemplos de subgrupos característicos inclúen o subgrupo conmutador e o centro dun grupo.
Definición Un subgrupo dun grupo chámase subgrupo característico se para cada automorfismo de , temos ; entón escríbese .
Sería equivalente a esixir a condición máis forte = para cada automorfismo de , porque implica a inclusión inversa .
Propiedades básicas Dado , todo automorfismo de induce un automorfismo do grupo cociente , que produce un homomorfismo .
Se ten un único subgrupo dun índice dado, entón é característico en .
Conceptos relacionados
Subgrupo normal Un subgrupo de que é invariante baixo todos os automorfismos internos chámase normal; tamén, un subgrupo invariante.
Dado que e un subgrupo característico é invariante baixo todos os automorfismos, todo subgrupo característico é normal. No entanto, non todos os subgrupos normais son característicos. Aquí temos algún exemplo:
Sexa un grupo non trivial e sexa o produto directo, . Entón os subgrupos, e , son normais, mais ningún é característico. En particular, ningún destes subgrupos é invariante baixo o automorfismo, , que troca os dous factores. Para un exemplo concreto disto, sexa o grupo-catro de Klein (que é isomorfo ao produto directo, ). Dado que este grupo é abeliano, cada subgrupo é normal; mais cada permutación dos 3 elementos que non son a identidade é un automorfismo de , polo que os 3 subgrupos de orde 2 non son característicos. Aquí, tendo }. Considere e considere o automorfismo, ; entón non está contido en .
Transitividade A propiedade de ser característico ou totalmente característico é transitiva; se é un subgrupo (totalmente) característico de , e é un subgrupo (totalmente) característico de , entón é un subgrupo (totalmente) característico de .
.
A maiores, aínda que a normalidade non é transitiva, é certo que todo subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.
.
Porén, a diferenza da normalidade, se e é un subgrupo de que contén , entón en xeral non é necesariamente característico en .
.
Exemplos
Exemplo finito Considere o grupo (o grupo de orde 12 que é o produto directo do grupo simétrico de orde 6 e un grupo cíclico de orde 2). O centro de é isomorfo ao seu segundo factor . Teña en conta que o primeiro factor, , contén subgrupos isomorfos a , por exemplo } ; sexa o mapa do morfismo no subgrupo indicado. A continuación, a composición da proxección de sobre o seu segundo factor , seguido de , seguido da inclusión de en como o seu primeiro factor, proporciona un endomorfismo de baixo o cal a imaxe do centro, , non está contido no centro, polo que aquí o centro non é un subgrupo totalmente característico de .
Grupos cíclicos Todo subgrupo dun grupo cíclico é característico.
Grupos topolóxicos O compoñente identidade dun grupo topolóxico é sempre un subgrupo característico. Notas
Véxase tamén Outros artigos Subgrupo. Grupo (matemáticas) Ligazóns externas CharacteristicSsubgroup (planetmath).
Categoría:Álxebra abstracta Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas