right|thumb|O grupo cíclico que consiste nas rotacións de 0°, 120° e 240° actúa sobre o conxunto dos tres vértices.
En matemáticas, unha acción de grupo dun grupo nun conxunto é un homomorfismo de grupos de a algún grupo (baixo a composición de funcións) de . Dise que actúa en .
Se un grupo actúa sobre unha estrutura, normalmente tamén actuará sobre obxectos construídos a partir desa estrutura. Por exemplo, o grupo de isometrías euclidianas actúa sobre o espazo euclidiano e tamén sobre as figuras debuxadas nel; en particular, actúa sobre o conxunto de todos os triángulos. Do mesmo xeito, o grupo de simetrías dun poliedro actúa sobre os vértices, as arestas e as caras do poliedro.
Unha acción de grupo nun espazo vectorial chámase representación de grupo. No caso dun espazo vectorial de dimensións finitas, permite identificar moitos grupos con subgrupos do grupo linear xeral que é o grupo das matrices invertíbeis de dimensión sobre un corpo.
O grupo simétrico actúa sobre calquera conxunto con elementos permutando os elementos do conxunto. Aínda que o grupo de todas as permutacións dun conxunto depende formalmente do conxunto, o concepto de acción de grupo permite considerar un só grupo para estudar as permutacións de todos os conxuntos coa mesma cardinalidade.
Definición
Acción de grupo Se é un grupo con elemento identidade e é un conxunto, entón unha acción de grupo (pola esquerda ou esquerda) de en é unha función
que satisfai os dous axiomas seguintes:
|Identidade:
|Compatibilidade:
para todos os e en e todos os en .
Dise entón que o grupo actúa sobre (pola esquerda). Un conxunto xunto cunha acción de chámase -conxunto (pola esquerda ou esquerdo) .
Pode resultar conveniente notacionalmente transformar (currying) a acción , de xeito que, en cambio, teña unha colección de transformacións , cunha transformación para cada elemento de grupo . Así, os axiomas de identidade e compatibilidade móstranse como
sendo a composición de funcións. O segundo axioma indica logo que a composición da funcións é compatíbel coa multiplicación do grupo; forman un diagrama conmutativo. Este axioma pódese acurtar aínda máis e escribirse como .
Co visto anteriormente, é moi común evitar escribir a letra e substituíla por un punto ou mesmo sen nada. Así, pódese acurtar a ou , especialmente cando a acción é clara polo contexto. Os axiomas son logo
Destes dous axiomas, despréndese que para calquera fixo en , a función de en si mesmo que mapea en é unha función bixectiva, con bixección inversa para o mapa correspondente para . Polo tanto, pódese definir equivalentemente unha acción de grupo de en como un homomorfismo de grupos de no grupo simétrico de todas as bixeccións de consigo mesmo.Así fai, por exemplo,
Acción de grupo pola dereita Do mesmo xeito existe unha acción de grupo pola dereita que satisfai os axiomas análogos, que na notación breve sería:
|Identidade:
|Compatibilidade:
para todos os e en e todos os en .
A diferenza entre as accións esquerda e dereita está na orde na que un produto actúa sobre . Para unha acción esquerda, actúa primeiro, seguido de segundo. Para unha acción dereita, actúa primeiro, seguido de segundo. A maiores, unha acción pola dereita dun grupo en pódese considerar como unha acción pola esquerda do seu grupo oposto en .
Así, para estabelecer as propiedades xerais das accións de grupo, abonda con considerar só as accións pola esquerda. No entanto, hai casos nos que isto non é posíbel. Por exemplo, a multiplicación dun grupo induce tanto unha acción pola esquerda como unha acción pola dereita no propio grupo-multiplicación pola esquerda e pola dereita, respectivamente.
Propiedades notábeis das accións Sexa un grupo que actúa nun conxunto . A acción chámase ou se para todos os implica que . De forma equivalente, o homomorfismo de no grupo de bixeccións de correspondente á acción é inxectivo.
A acción chámase (ou semiregular ou punto fixo libre) se a afirmación de que para algúns implica que . Noutras palabras, ningún elemento non trivial de fixa un punto de . Esta é unha propiedade moito máis forte que a de fidelidade.
O gran matiz entre ambas as defincións está nos termos para todos ou para algúns.
Por exemplo, a acción de calquera grupo sobre si mesmo pola multiplicación pola esquerda é libre. Esta observación implica o teorema de Cayley de que calquera grupo pode mergullarse nun grupo simétrico (que é infinito cando o é o grupo). Un grupo finito pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño moito menor que a súa cardinalidade (porén, tal acción non pode ser libre). Por exemplo, o grupo abeliano (de cardinalidade ) actúa fielmente nun conxunto de tamaño . Non sempre é así, por exemplo o grupo cíclico non pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño inferior a .
En xeral, o conxunto máis pequeno no que se pode definir unha acción fiel pode variar moito para grupos do mesmo tamaño. Por exemplo, tres grupos de tamaño 120 son o grupo simétrico , o grupo icosaédrico e o grupo cíclico . Os conxuntos máis pequenos nos que se poden definir accións fieis para estes grupos son de tamaño 5, 7 e 16 respectivamente.
Exemplos Imos ver dous exemplos tomados dos apuntamentos de Keith Conrad Exemplo 1 O grupo de transformacións lineares afíns onde con (grupo linear xeral de matrices invertíbeis) e (vectores de reais de dimensión ) actúa en mediante . Se escribimos como a identidade sería e a multiplicación e a inversa .
Agora comprobamos os axiomas para esta acción: Identidade: . Compatibilidade: . . Isto é debido a que a multiplicación dunha matriz por un vector columna de dimensión é un vector de dimensión e por tanto é un vector. . Co mesmo resultado que a parte anterior.
Exemplo 2 Para actúa nun n-gono regular como movementos ríxidos. Tamén o podemos ver como actuando sobre os vértices. Se etiquetamos os vértices de a facemos que actúe en . Por exemplo para unha rotación sería o ciclo e unha reflexión sería a transposición . Así podemos transformar o grupo (diédrico de dimensión 4) no (Permutacións de 4 elementos).
Todas as correspondencias son: .
Propiedades de transitividade A acción de en chámase se para dous puntos calquera existe un para o que .
A acción é (ou ) se é á vez transitiva e libre. Isto significa que dados entón o elemento na definición de transitividade é único. Se un grupo actúa sobre simplemente transitivamente, entón chámase espazo homoxéneo principal para ou -torsor.
Unha acción é -transitiva para un conxunto de elementos se é transitiva en todos os pares de elementos diferentes.
Exemplos A acción do grupo simétrico de é transitiva, de feito -transitiva para calquera até a cardinalidade de . Se ten cardinalidade , a acción do grupo alternante é -transitiva mais non -transitiva.
Accións primitivas
A acción de en chámase primitiva se non hai ningunha partición de preservada por todos os elementos de a maiores das particións triviais (todo o conxunto ou a partición en conxuntos unitarios).
Accións de grupos topolóxicos
Supoña agora que é un grupo topolóxico e un espazo topolóxico no que actúa por homeomorfismos. Dise que a acción é continua se o mapa é continuo para a topoloxía do produto.
A acción dise que é se o mapa definido por é propio. Isto significa que dados os conxuntos compactos o conxunto de tal que é compacto. En particular, isto é equivalente a que con descontinuidade propia é un grupo discreto.
Dise que é localmente libre se existe unha viciñanza de tal que para todos os e .
Dise que a acción é fortemente continua se o mapa orbital é continuo para cada .
Se é un grupo de Lie e unha variedade diferenciábel, entón o subespazo de puntos suaves para a acción é o conxunto de puntos de tal xeito que o mapa é suave.
Accións lineares
Se actúa mediante transformacións lineares nun módulo sobre un anel conmutativo, dise que a acción é irredutíbel se non hai submódulos propios -invariantes distintos de cero. Dise que é semisimple se se descompón como unha suma directa de accións irredutíbeis.
Órbitas e estabilizadores thumb|No composto de cinco tetraedros, o grupo de simetría é o grupo icosaédrico (rotacional) de orde 60, mentres que o estabilizador dun só tetraedro escollido é o grupo (rotacional) de orde 12, e o espazo orbital (de orde 60/12 = 5) identifícase naturalmente cos 5 tetraedros: a clase corresponde ao tetraedro a quen envía o tetraedro escollido.
Considere un grupo que actúa nun conxunto . Para cada elemento en A súa é O seu é
Vemos que as órbitas pertencen a e os estabilizadores a .
Dicimos que é un punto fixo da acción se para todo , que pode verse como ou .
Exemplos Exemplo 1 Cando actúa no modo usual sobre a órbita de é pois todo vector menos o vector cero pode ser obtido con aplicando a correspondente matriz invertíbel. ou sendo unha das dúas matrices cadradas invertíbel (dado ou distinto de cero).
O estabilizador de é .
Exemplo 2 Cando actúa no modo usual sobre (vectores de enteiros en lugar de reais) a órbita de non é pois en as matrices cadradas de dimensión só son invertíbeis se o determinante é . Por tanto as órbitas neste caso son os vectores cuxas coordenadas teñen un máximo común divisor fixo.
Por tanto cada órbita contén un vector da forma e o estabilizador de é .
As órbitas e os estabilizadores están intimamente relacionados. Para un fixo en , considere o mapa dado por . Por definición, a imaxe deste mapa é a órbita . A condición para que dous elementos teñan a mesma imaxe é
Noutras palabras, se e só se e atópanse no mesmo coset para o subgrupo estabilizador . Así, a fibra de sobre calquera en está contida nun conxunto dese tipo, e cada un destes cosets tamén está como fibra. Polo tanto, induce unha entre o conxunto de clases secundarias para o subgrupo estabilizador e a órbita , que envía .M. Artin, Algebra, Proposition 6.8.4 on p. 179 Este resultado coñécese como o teorema órbita-estabilizador.
Se é finito, o teorema órbita-estabilizador, xunto co teorema de Lagrange, dá
noutras palabras, a lonxitude da órbita de veces a orde do seu estabilizador é a orde do grupo. En particular, iso implica que a lonxitude da órbita é un divisor da orde do grupo.
Exemplo: Sexa un grupo de orde prima que actúa sobre un conxunto con elementos . Dado que cada órbita ten ou elementos, hai polo menos órbitas de lonxitude que son elementos -invariantes. Máis concretamente, e o número de elementos -invariantes que son congruentes módulo .
thumb|Cubo con vértices numerados Exemplo: Podemos usar o teorema órbita-estabilizador para contar os automorfismos dun grafo. Considere o grafo cúbico como se mostra na imaxe, e denotamos como o seu grupo de automorfismos. Entón actúa sobre o conxunto de vértices , e esta acción é transitiva como se pode ver compoñendo rotacións arredor do centro do cubo. Así, polo teorema órbita-estabilizador, . Aplicando agora o teorema ao estabilizador , podemos obter .
Calquera elemento de que fixe o 1 debe enviar 2 a 2, 4 ou 5. Como exemplo deste tipo de automorfismos, considere a rotación ao redor do eixo diagonal a través de 1 e 7 por , que permuta 2, 4, 5 e 3, 6, 8 e fixa 1 e 7. Así . Aplicando o teorema por terceira vez dáse . Calquera elemento de que fixe 1 e 2 debe enviar 3 a 3 ou 6. Reflictir o cubo no plano a través de 1, 2, 7 e 8 é un automorfismo que envía 3 a 6, polo que . Tamén se ve que consiste só no automorfismo de identidade, xa que calquera elemento de que fixa 1, 2 e 3 tamén debe fixar todos os demais vértices, xa que están determinados pola súa adxacencia a 1, 2 e 3. Combinando os cálculos anteriores, agora podemos obter .
Lema de Burnside Un resultado moi relacionado co teorema órbita-estabilizador é o lema de Burnside:
onde é o conxunto de puntos fixados por . Este resultado é útil principalmente cando e son finitos, cando se pode interpretar do seguinte xeito: o número de órbitas é igual ao número medio de puntos fixados por elemento de grupo.