Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, un elemento idempotente ou simplemente idempotente dun anel é un elemento tal que . É dicir, o elemento é idempotente baixo a multiplicación do anel. Daquela, de xeito indutivo, tamén se pode concluír que para calquera número enteiro positivo . Por exemplo, un elemento idempotente dun anel de matrices é precisamente unha matriz idempotente.
Exemplos
Cocientes de Z Pódese considerar o anel de enteiros módulo , onde é libre de cadrados. Segundo o teorema chinés do resto, este anel factoriza no produto de aneis de enteiros módulo , onde é primo. Agora cada un destes factores é un corpo, polo que está claro que os únicos factores idempotentes serán e . É dicir, cada factor ten dous idempotentes. Entón, se hai factores, haberá idempotentes.
Podemos comprobar isto para os enteiros , . Como ten dous factores primos ( e ) debería ter idempotentes.
A partir destes cálculos, , , e son idempotentes deste anel, mentres que e non o son. Isto tamén demostra as propiedades de descomposición descritas a continuación: a causa de que , hai unha descomposición do anel . En a identidade multiplicativa é e en a identidade multiplicativa é .
Cociente de anel polinómico Dado un anel e un elemento tal que , o anel cociente
ten o idempotente . Por exemplo, isto podería aplicarse a , ou a calquera polinomio .
Idempotentes no anel dos cuaternións divididos Hai unha circunferencia de idempotentes no anel dos cuaternións divididos. Os cuaternións divididos teñen a estrutura dunha álxebra real, polo que os elementos poden escribirse w + x i + y j + z k sobre unha base {1, i, j, k}, con j 2 = k 2 = +1. Para calquera θ ,
cumpre s 2 = +1 xa que j e k satisfán a propiedade anticomutativa. Agora a propiedade idempotente.
O elemento s chámase unidade hiperbólica e a coordenada i tomouse como cero. Cando esta coordenada é distinta de cero, entón hai un hiperboloide dunha folla de unidades hiperbólicas en cuaternións divididos.
Tipos de aneis idempotentes Unha lista parcial de tipos importantes de idempotentes inclúe:
Dous idempotentes e chámanse ortogonais se . Se é idempotente no anel (con unidade), entón tamén o é ; a maiores, e son ortogonais. Un idempotente en chámase idempotente central se para todo en , é dicir, se está no centro de . Un idempotente trivial refírese a calquera dos elementos e , que sempre son idempotentes. Un idempotente primitivo dun anel é un idempotente distinto de cero tal que é indescompoñíbel como un módulo pola dereita; é dicir, tal que non é unha suma directa de dous submódulos distintos de cero. De forma equivalente, é un idempotente primitivo se non se pode escribir como , onde e son idempotentes ortogonais distintos de cero en . Un idempotente local é un idempotente tal que é un anel local. Isto implica que é directamente indescompoñíbel, polo que os idempotentes locais tamén son primitivos. Un idempotente irredutíbel pola dereita é un idempotente para o cal é un módulo simple. Segundo o lema de Schur, é un anel de división e, polo tanto, é un anel local, polo que os idempotentes irredutíbeis pola dereita e pola esquerda son locais. Un idempotente centralmente primitivo é un idempotente central que non se pode escribir como a suma de dous idempotentes centrais ortogonais distintos de cero. Un idempotente no anel cociente dise que se eleva módulo se hai un idempotente en tal que . Un idempotente de chámase idempotente completo se . Para separabilidade idempotente ver Álxebra separábel.
Calquera idempotente non trivial é un divisor de cero (porque sen que nin nin sexan cero, onde ). Isto mostra que dominios de integridade e os aneis de división non teñeneses idempotentes. Os aneis locais tampouco non teñen eses idempotentes, mais por un motivo diferente. O único idempotente contido no radical de Jacobson dun anel é .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
idempotent at FOLDOC
Outros artigos Idempotencia. Unipotente Nilpotente
Categoría:Teoría de aneis