dereita|miniatura| Gráfica de cores do dominio de ϕ no plano complexo
En matemáticas, a función de Euler vén dada por
O nome fai referencia a Leonhard Euler, é un exemplo modelo dunha q-serie e proporciona o exemplo prototípico dunha relación entre a combinatoria e a análise complexa.
Propiedades O coeficiente na expansión en serie de potencias formal para dá o número de particións de k. É dicir,
onde é a función de partición .
A identidade de Euler, tamén coñecida como teorema dos números pentagonais, é
onde é un número pentagonal.
A función de Euler está relacionada coa función eta de Dedekind como
A función de Euler pódese expresar como un q-símbolo de Pochhammer:
O logaritmo da función de Euler é a suma dos logaritmos da expresión do produto, e teñen cadansúa expansión arredor de q = 0, producindo
que é unha serie de Lambert con coeficientes -1/n. Polo tanto, o logaritmo da función de Euler pódese expresar como
onde -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (ver OEIS A000203 )
Pola mor da identidade , onde é a función de suma de divisores, esta tamén se pode escribir como
.
Valores especiais As seguintes identidades veñen dos Cadernos de Ramanujan: p. 326
Usando o teorema dos números pentagonais, trocando suma por integral, e despois invocando métodos analíticos de complexos, derívase
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Función de partición (teoría de números). Teorema dos números pentagonais.
Ligazóns externas O termo "función de Euler" pode usarse para referirse a calquera das varias funcións da teoría de números e da teoría de funcións especiais (MathWorld).
Categoría:Teoría de números Categoría:Funcións