miniatura|300x300px| Un automorfismo do grupo de Klein mostrado de dous xeitos: unha permutación na notación de ciclos e unha correspondencia entre dúas táboas de Cayley. En matemáticas, un automorfismo é un isomorfismo dun obxecto matemático en si mesmo. É, en certo sentido, unha simetría do obxecto e unha forma de mapear o obxecto en si mesmo conservando toda a súa estrutura. O conxunto de todos os automorfismos dun obxecto forma un grupo, chamado grupo de automorfismos.
Definición Nunha estrutura alxébrica como un grupo, un anel ou espazo vectorial, un automorfismo é simplemente un homomorfismo bixectivo dun obxecto en si mesmo.
Para un obxecto dalgunha categoría, un automorfismo é un morfismo do obxecto en si mesmo que ten un morfismo inverso; é dicir, un morfismo é un automorfismo se hai un morfismo tal que onde é o morfismo de identidade de .
Grupo de automorfismos Os automorfismos dun obxecto forman un grupo baixo composición de morfismos, que se chama grupo de automorfismos de .
O grupo de automorfismos dun obxecto nunha categoría denomínase a miúdo , ou simplemente Aut (X) se a categoría esta clara no contexto.
Exemplos
En teoría de conxuntos, unha permutación arbitraria dos elementos dun conxunto X é un automorfismo. O grupo de automorfismos de X tamén se chama o grupo simétrico en X. En aritmética elemental, o conxunto de enteiros, Z, considerado como un grupo baixo adición, ten un automorfismo non trivial único: a negación. Porén, considerado como un anel, só ten o automorfismo trivial. En xeral, a negación é un automorfismo de calquera grupo abeliano, pero non dun anel ou dun corpo. Un automorfismo de grupo é un isomorfismo de grupos dun grupo en si mesmo. Informalmente, é unha permutación dos elementos do grupo de tal xeito que a estrutura permanece inalterada. Para cada grupo G hai un homomorfismo de grupo natural G → Aut(G) cuxa imaxe é o grupo Inn(G) de automorfismos internos e cuxo kernel é o centro de G Así, se G ten un centro trivial pode ser inserido no seu propio grupo de automorfismos. En álxebra linear, un endomorfismo dun espazo vectorial V é un operador lineal V → V. Un automorfismo é un operador linear invertible en V. Cando o espazo vectorial é de dimensión finita, o grupo de automorfismos de V é o mesmo que o grupo linear xeral GL(V). Un automorfismo de corpos é un homomorfismo de anel bixectivo dun corpo en si mesmo. O corpo dos números racionais non ten outro automorfismo que a identidade, xa que un automorfismo debe fixar a identidade aditiva e a identidade multiplicativa . O corpo dos números reais non ten outro automorfismo que a identidade. O corpo dos números complexos, ten un único automorfismo non trivial, que envía a a conxugación complexa. Por outro lado, hai infinitamente moitos (incontables) automorfismos, se asumimos o axioma de escolla. O estudo dos automorfismos das extensións de campo alxébrico é o punto de partida e o principal obxecto da Teoría de Galois. O grupo de automorfismos dos cuaternións (H) como un anel son os automorfismos internos, polo teorema de Skolem-Noether son os mapas da forma . Este grupo é isomorfo a SO (3), o grupo de rotacións no espazo tridimensional. O grupo de automorfismos dos octonións (O) é o grupo de Lie G2. En teoría de grafos un automorfismo dun grafo é unha permutación dos nodos que conserva arestas e non arestas. En particular, se dous nodos están unidos por unha aresta, tamén o están as súas imaxes baixo a permutación. En xeometría, un automorfismo pode ser chamado un movemento no espazo. Tamén se usa terminoloxía especializada: En espazo métrico un automorfismo é unha auto-isometría. O grupo de automorfismos tamén se chama o grupo de isometrías. Na categoría dsa superficies de Riemann, un automorfismo é un mapa biholomorfo (tamén chamado a mapa conforme), dunha superficie en si mesma. Por exemplo, os automorfismos da esfera de Riemann son transformacións de Möbius. Un automorfismo dunha variedade M é un difeomorfismo de M en si mesmo. O grupo de automorfismos denótase Diff(M). En topoloxía, os morfísmos entre espazos topolóxicos son chamados mapas continuos, e un automorfismo dun espazo topolóxico é un homeomorfismo do espazo en si mesmo, ou auto-homeomorfismo (ver grupo de homeomorfismos). Neste exemplo non é abondo que un morfismo sexa bixectivo para ser un isomorfismo.
Automorfismos internos e externos Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores". Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores".
No caso dos grupos, os automorfismos internos son as conxugacións polos elementos do propio grupo. Para cada elemento a dun grupo G, a conxugación por a é a operación dada por (ou a−1 ga). Pódese comprobar facilmente que a conxugación por a é un automorfismo de grupo. Os automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn(G); isto chámase lema de Goursat.
Os outros automorfismos chámanse automorfismos externos. O grupo cociente adoita denotarse por Out(G); os elementos non triviais son as coclases (cosets) que conteñen os automorfismos exteriores.
A mesma definición vale para calquera anel ou álxebra onde é calquera elemento invertible. Para as álxebras de Lie a definición é lixeiramente diferente. Notas
Véxase tamén
Outros artigos Anel de endomorfismos Automorfismo de Frobenius Morfismo Ligazóns externas Automorphism at Encyclopaedia of Mathematics
Categoría:Simetría Categoría:Álxebra abstracta