En matemáticas, un divisor dun número enteiro tamén chamado factor de é un número enteiro que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir Neste caso, tamén se di que é múltiplo de Un número enteiro é divisible por outro número enteiro se é un divisor de ; isto implica que ao dividir por non temos un resto.
Definición Un número enteiro é divisible por un número enteiro distinto de cero se existe un número enteiro tal que A nomenclatura habitual é
En latex sería "m \mid n".
Isto pódese ler así divide a é un divisor de é un factor de ou é múltiplo de Se non divide a daquela a notación é
Que en latex sería "m \not\mid n".
Xeral Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).
1, -1, e coñécense como divisores triviais de Un divisor de que non é un divisor trivial coñécese como un divisor non trivial (ou divisor estrito ). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.
Os divisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.
Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.
Exemplos
7 é un divisor de 42 porque así podemos dicir Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42. Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3. Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21. O conxunto de todos os divisores positivos de 60, parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:
centro|350x350px
Outras nocións e feitos Algunhas regras elementais:
Se e entón é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva. Se e entón ou Se e entón cúmprese que , igual para a resta
Se e entón Isto denómínase lema de Euclides.
Se é un número primo e entón ou
Un número enteiro cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo.
Calquera divisor positivo de é un produto de divisores primos de elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .
Un número dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que e abundante se esta suma supera
O número total de divisores positivos de é unha función multiplicativa no caso de e seren relativamente primos, entón Por exemplo, ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma
A suma dos divisores positivos de é outra función multiplicativa (p. ex ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso , pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.
Se a factorización de está dada polos primos
daquela o número de divisores positivos de é
e cada un dos divisores ten a forma
onde para cada
Para cada número natural temos
En álxebra abstracta
Teoría de aneis
Retícula de división
Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro ∧ ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión ∨ polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
; section B
Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
Outros artigos Funcións aritméticas Algoritmo euclidiano Fracción (matemáticas) Factorización de enteiros Táboa de factores primos – unha táboa de factores primos de 1 a 1000 Divisor unitario Regras de Divisibilidade
Categoría:Matemáticas Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas