En álxebra linear, a matriz identidade de tamaño é a matriz cadrada con todo uns na diagonal principal e ceros no resto de posicións. Ten propiedades únicas, por exemplo, cando a matriz de identidade representa unha transformación xeométrica, o obxecto permanece inalterado pola transformación. Noutros contextos, é análogo a multiplicar polo número 1.
Terminoloxía e notación A matriz identidade adoita denotarse por , ou simplemente por se o tamaño non é importante ou pode determinarse polo contexto.
Nalgúns campos, como a teoría de grupos ou a mecánica cuántica, a matriz de identidade denótase ás veces por un número 1 en letra grosa, , ou chámase "id" (abreviatura de identidade). Con menos frecuencia, algúns libros de matemáticas usan ou para representar a matriz de identidade, que significa "matriz unitaria" e a palabra alemá respectivamente.
Outra nomenclatura pode serOu coa notación do delta de Kronecker : Weisstein, Eric W. "Identity Matrix". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-14.
Propiedades Cando é unha matriz de tamaño , temos que a multiplicación matricial pola matriz identidade seríaEn particular, a matriz de identidade serve como a identidade multiplicativa do anel matricial de todas as matrices , e como elemento de identidade do grupo lineal xeral , que consta de toda matriz invertible baixo a operación de multiplicación matricial. Neste grupo, dúas matrices cadradas teñen a matriz identidade como produto exactamente cando son inversas entre si.
O determinante da matriz identidade é 1, e a súa traza é .
A matriz identidade é a única matriz idempotente con determinante distinto de cero. É dicir, é a única matriz tal que:
Cando se multiplica por si mesma, o resultado é ela mesma. Todas as súas filas e columnas son linearmente independentes.
A raíz cadrada principal dunha matriz de identidade é ela mesma, e esta é a súa única raíz cadrada definida positivamente. No entanto, cada matriz de identidade con polo menos dúas filas e columnas ten unha infinidade de raíces cadradas simétricas.
O rango dunha matriz de identidade é igual ao tamaño , é dicir:
Notas
Véxase tamén Outros artigos Matriz binaria (matriz cero-un) Matriz elemental Matriz de uns Matriz de Pauli (a matriz de identidade é a matriz de Pauli cero) Matriz cero
Categoría:Matrices