En matemáticas os polinomios de Bernoulli son definidos mediante unha función xeradora exponencial, tal como se expón a continuación:
.
Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli (normalmente expresados como e escritos aquí con minúscula para distinguilos dos polinomios) son os termos independentes dos polinomios correspondentes, .
A identidade expón unha forma pechada da suma dos primeiros números enteiros positivos elevados a unha potencia ,
.
Un conxunto similar de polinomios, baseado nunha función xeradora, é a familia de polinomios de Euler. Neste artigo mencionaremos propiedades e fórmulas para ambas as dúas familias.
Representacións
Funcións xeradoras exponenciais A funcións xeradora para os polinomios de Bernoulli é
E para os polinomios de Euler é
Fórmula explícita
Para os polinomios de Bernoulli e mais Euler respectivamente, temos,
para , onde os son os números de Bernoulli, e os son os números de Euler.
Dedúcese logo que (numeradores e denominadores ) e (, tendo en conta que hai quen usa outro criterio usando só os números de índice par, ver números de Euler).
Expresión de polinomios de menor grao Os primeiros polinomios de Bernoulli son:
.
Os primeiros polinomios de Euler son:
Propiedades dos polinomios de Bernoulli Diferenzas Os polinomios de Bernoulli e Euler obedecen a moitas relacións do cálculo sombra usado por Édouard Lucas, por exemplo.
Derivadas
Translacións
Simetrías
Outras propiedades
Esta última igualdade, deducida da fórmula de Faulhaber, provén da igualdade: ou, máis sinxelamente, a serie telescópica .
Serie de Fourier A serie de Fourier dos polinomios de Bernoulli tamén é unha serie de Dirichlet, dada polo desenvolvemento. : , válido só para cando e para cando .
Este é un caso especial da fórmula de Hurwitz.
Integrais e relacións coa función zeta de Riemann Dúas integrais definidas que relacionan os polinomios de Bernoulli e Euler cos números de Bernoulli e Euler son:
Outra integral dános
e casos particulares sen a variábel onde aparecen a función zeta de Riemann
.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Ver capítulo 23) (Ver capítulo 12.11)
(Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)
Outros artigos Número de Bernoulli
Ligazóns externas Polinomios de Bernoulli no sitio Mathworld
Bernoulli Categoría:Teoría de números