miniatura|Unha bóla centrada na orixe de relativa a tres normas distintas. Nas Matemáticas, unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

Definición Dado un espazo vectorial sobre o corpo dos números reais ou complexos, unha función é chamada de norma se, para calquera e todo :SANTOS (2010), p.3, ex. 54. . Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.

(desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por .

Métrica e topoloxía inducida Toda norma induce de forma natural unha métrica en que ten valores dados por:SANTOS (2010), p.60.

Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:

Normas equivalentes Dúas normas e sobre o mesmo espazo vectorial chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas e tales que:

Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

Normas en espazos de dimensión finita Sexa a representación dun vector en ou .

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas :

O caso particular no que corresponde á norma euclidiana:

A norma euclidiana é a que mide a distancia entre dous puntos do plano usada habitualmente .

Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

Norma matricial Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde , denotado por , unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se entón a norma do máximo da matriz é o número non negativo dado por

A norma do máximo da matriz , por exemplo, éBoldrini et. al, p. 342.

Normas en espazos de dimensión infinita Espazos LP

As normas teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

Notas

Véxase tamén Bibliografía

Outros artigos Produto interno Espazo de Banach Espazo euclidiano Espazo métrico Espazo topolóxico Seminorma

Categoría:Análise matemática Categoría:Topoloxía