miniatura|Tauleta de fang babilònica YBC 7289 amb anotacions. La diagonal mostra una aproximació de l'arrel quadrada de 2 amb quatre xifres sexagesimals, que són com sis xifres decimals. 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296...
La matemàtica babilònica (també coneguda com a matemàtica assiriobabilònica) es refereix al conjunt de coneixements matemàtics que van desenvolupar els pobles de Mesopotàmia, des de la primerenca civilització sumèria fins a la caiguda de Babilònia en el 539 aC.H. Lewy: «Studies in assyro-babylonian mathematics and metrology», en Orientalia (NS) 18, 40-67; págs. 137-170, 1951.Lewy, H. (1951 «Studies in assyro-babylonian mathematics and metrology», en Orientalia (NS) 20, págs. 1-12.E. M. Bruins: «La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes», en Revue d'Assyriologie, 47, págs. 185-188, 1953.Cazalas: «Le calcul de la table mathématique AO 6456», en Revue d'Assyriologie 29, págs. 183-188, 1932.S. Langdon: «Assyriological notes: mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet», en Revue d'Assyriologie 15, págs. 110-112, 1918.E. Robson: «Guaranteed genuine originals: the Plimpton Collection and the early history of mathematical assyriology», en Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday (ed. Els textos de matemàtica babilònica són abundants i estan ben editats; es poden classificar en dos períodes temporals: el referit a l'Antiga Babilònia (1830-1531 aC)Asger Aaboe: «The culture of Babylonia: babylonian mathematics, astrology, and astronomy», en John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger y C. B. F. Walker (eds. i el corresponent al selèucida dels últims tres o quatre segles aC. Quant al contingut, hi ha amb prou feines diferències entre els dos grups de textos. La matemàtica babilònica va romandre constant, en caràcter i contingut, per aproximadament dos mil·lennis.Asger Aaboe: «The culture of Babylonia: babylonian mathematics, astrology, and astronomy», en John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger y C. B. F. Walker (eds. En contrast amb les escasses fonts de matemàtica egípcia, el nostre coneixement de la matemàtica babilònica es deriva d'unes 400 tauletes d'argila, desenterrades des de 1850. Traçades en escriptura cuneïforme, les tauletes es gravaven mentre l'argila estava humida, i després eren endurides en un forn o escalfant-les al sol. La majoria de les tauletes d'argila recuperades daten del 1800 al 1600 aC, i abasten temes que inclouen fraccions, problemes d'àlgebra, equacions quadràtiques i cúbiques i trios d'enters en aplicació de l'esbós del teorema de Pitàgores, demostrat encara a Grècia temps després.Bell: Historia de las matemáticas La tauleta babilònica YBC 7289 dona una aproximació de amb cinc decimals d'exactitud.
Numerals babilònics
El sistema de numeració babilònic era el sistema de numeració sexagesimal (base-60). D'aquí es deriva l'ús modern de 60 segons en un minut, 60 minuts en una hora, 360 graus en un cercle. Els babilonis van ser capaços de realitzar grans avanços en matemàtiques per dues raons: en primer lloc, el número 60 és un nombre compost, amb molts divisors 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60, la qual cosa facilita els càlculs amb fraccions; addicionalment, a diferència d'egipcis i romans, els babilonis, indis i maies posseïen un veritable sistema de notació posicional, on els dígits escrits en la columna de l'esquerra representen valors majors (tal com en el nostre sistema de base deu: 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1). Els sumeris i babilonis van ser pioners en referència a això.
El sistema sexagesimal de numeració s'ha establert, possiblement, de la fusió d'altres dos antics: un estrictament decimal (semític) de signes per a monedes, pesos i mesures i un altre, duodecimal. En texts astronòmics hi ha compulsa entre nombres positius i nombres negatius; totes la parelles de factorització igual a 60 o de les seves potències són recollides en tauletes.
Matemàtica sumèria (3000 a 2300 aC) Els antics sumeris de Mesopotàmia van desenvolupar un complex sistema de metrologia des de l'any 3000 a. C. A partir de l'any 2600 a. C. en endavant, els sumeris van escriure taules de multiplicar en tauletes d'argila i van realitzar exercicis geomètrics i problemes de divisions. Les traces més antigues dels numerals babilònics es remunten també a aquest període.Duncan J. Melville: «Third millennium chronology» , en Third millennium mathematics.
Matemàtica en l'Antiga Babilònia (2000-1600 aC) El període de l'Antiga Babilònia és el període al com pertanyen la majoria de les tauletes d'argila, que és pel que la matemàtica de Mesopotàmia és comunament coneguda com a matemàtica babilònica. Algunes tauletes d'argila contenen llistes i taules, unes altres contenen problemes i solucions desenvolupades.
Diverses branques i altres temes Aritmètica Els babilonis van fer ús extensiu de taules precalculades per assistir-se en l'aritmètica. Per exemple, dos tauletes trobades a Senkerah a l'Eufrates l'any 1854, datades del 200 aC, donen llistes amb els nombres quadrats perfectes fins al 59 i amb els nombres cúbics fins al 32. Els babilonis usaven les llistes dels quadrats al costat de les fórmules
per efectuar la multiplicació.
Els babilonis no tenien un algorisme per a la divisió llarga, en el seu lloc basaven el seu mètode en el fet que
juntament amb una taula de recíprocs. Nombres que els únics factors primers són 2, 3 o 5 (coneguts com a nombres 5-llis (cap dels seus factors primers es superior a 5)o regulars, tenen finits recíprocs en notació sexagesimal, i s'han trobat taules amb extenses llistes d'aquests recíprocs.
Recíprocs tals com 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tenen representació finita en notació sexagesimal. Per calcular 1/13 o per dividir un nombre per 13 els babilonis utilitzarien un aproximació tal com
Arrels quadrades no exactes foren aproximades pel ús senzill i reiterat de la mitjana aritmètico-geomètrica ,la que, en la pràctica, s'obtenia per . Pels quebrats propis va haver-hi nombres propis i signes específics.
Possibles descobridors de l'enunciat del teorema de Pitàgores, en les seves aplicacions, coneixent dos elements de la terna pitagòrica, van trobar el tercer mitjançant una arrel quadrada, la qual van inventar i aproximaven usant mitjana aritmètica (versió anàloga al mètode de Newton que usa derivades).
Àlgebra Així com en càlcul aritmètic, els matemàtics babilonis també van desenvolupar mètodes algebraics per resoldre equacions. Una vegada més, aquests es basaven en taules precalculades.
Per resoldre una equació de segon grau, els babilonis usaven essencialment la fórmula quadràtica. Consideraven equacions de segon grau de la forma
on aquí b i c no eren necessàriament sencers, però c sempre era positiu. Sabien que una solució a aquesta forma de l'equació és
i utilitzarien les taules de quadrats a l'inrevés per trobar arrels quadrades. Sempre utilitzaven l'arrel positiva doncs això tenia sentit en resoldre problemes «reals». Problemes d'aquest tipus incloïen trobar les dimensions d'un rectangle donada la seva àrea i la quantitat per la qual el llarg excedia l'ample.
Taules de valors de n3 + n² eren usades per resoldre certes equacions cúbiques. Per exemple, donada l'equació
multiplicant l'equació per a² i dividint per b3 s'obté ; substituint y = ax/b s'obté
la qual cosa es pot resoldre buscant en la taula n3 + n² el valor més proper al costat dret. Els babilonis realitzaven això sense notació algebraica, demostrant una remarcable profunditat d'enteniment. No obstant això, no posseïen un mètode per resoldre l'equació general de tercer grau.
Models de creixement Els babilonis modelaven el creixement exponencial, el creixement restringit (via una forma de funcions sigmoides) i el temps doble, això últim dins del context d'interès sobre préstecs.
Les tauletes de fang del 2000 a.C. inclouen l'exercici «donada una taxa d'interès d'1/60 per mes (no composta), calcular el temps doble». Això dona un interès anual de 12/60=20%, i un temps doble de 100% creixement/20% creixement per any = 5 anys.Michael Hudson: «Why the “miracle of compound interest” leads to financial crises», 2007.John H. Webb: «Have we caught your interest?
Plimpton 322 La tauleta Plimpton 322 descriu un mètode per resoldre el que avui dia es descriu com a funcions quadràtiques de la forma
,
per passos (descrits en termes geomètrics) amb els quals es calculen seqüències de valors intermedis v1 = c/2, v₂ = v1², v₃ = 1 + v₂ i v₄ = v₃1/2 d'on es pot calcular x = v₄ + v1 i 1/x = v₄ - v1. Les recerques de Robson (2001, 2002), publicades per la Mathematical Association of America, nota que Plimpton 322 pot interpretar-se com els valors següents, per a valors numèrics regulars de x i 1/x en ordre numèric: v₃ a la primera columna, v1 = (x - 1/x)/2 a la segona columna i v₄ = (x + 1/x)/2 a la tercera columna. En aquesta interpretació, x i 1/x haurien aparegut en la tauleta en la part despresa, a l'esquerra de la primera columna. Per exemple, fila 11 de Plimpton 322 pot ser generada d'aquesta forma per a x = 2.
Robson assenyala que Plimpton 322 revela «mètodes [matemàtics] ―parells recíprocs, geometria de copiar-i-enganxar, completar el quadrat, dividir per factors comuns regulars― [les quals] eren totes tècniques simples ensenyades a les escoles d'escribes d'aquest temps.Robson, American Mathematical Monthly, págs. 117-118, 2002.
La taula havia estat interpretada per matemàtics experts com una llista de triples pitagòrics i funcions trigonomètriques; l'any 2002 la Mathematical Association of America va publicar la recerca de Robson i (l'any 2003) ho va premiar amb el Lester R. Ford Award per la interpretació moderna rebutjant els errors previs.
Geometria Els babilonis coneixien les regles usuals per mesurar volums i àrees. Mesuraven la circumferència d'un cercle com tres vegades el diàmetre i l'àrea com un dotzè del quadrat de la circumferència, la qual cosa és correcte per a una estimació de π a 3. El volum d'un cilindre es calculava com el producte de la base per l'altura, no obstant això, el volum d'un con truncat o una piràmide quadrangular es calculaven incorrectament com el producte de l'altura i la meitat de la suma de les bases. El teorema de Pitàgores també els era conegut. Recents descobriments indiquen que en una tauleta s'usava π com 3 i 1/8. Dels babilonis deriva la milla babilònica, una mesura de distància equivalent a set milles actuals, aproximadament. Aquesta mesura de distància es va convertir en la unitat milla-temps, utilitzada per mesurar el recorregut del sol, com una representació del temps.Eves, capítol 2.
Els antics babilonis van conèixer els teoremes sobre els costats i les raons de triangles semblants per molts segles, però desconeixien el concepte de mesura angular i, conseqüentment, estudiaven els costats dels triangles en el seu lloc.Boyer: «Greek trigonometry and mensuration» (págs. 158-159), 1991.
Els astrònoms babilonis van mantenir un registre detallat de les sortides i les postes dels estels, el moviment dels planetes, els eclipsis solars i lunars; tot la qual cosa requereix familiaritat amb les distàncies angulars mesures sobre l'esfera celeste.Eli Maor: Trigonometric delights.
També van utilitzar una forma d'anàlisi de Fourier per calcular efemèrides (taules de posicions astronòmiques), que va ser descoberta en els anys cinquanta per Otto Neugebauer.Elena Prestini: The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world (pág. 62).Gian-Carlo Rota i Fabrizio Palombi: Indiscrete thoughts (pág. 11).Otto Neugebauer: The exact sciences in antiquity. .Lis Brack-Bernsen y Matthias Brack: Analyzing shell structure from babylonian and modern times.
Influència