Esti artículu ta empobináu a apurrir un tratamientu rigoroso y astracto del conceutu d'espaciu vectorial. Pa una introducción más accesible al conceutu, vease Vector
thumb|Representación artística d'un espaciu vectorial. Un espaciu vectorial ye, n'álxebra astracta, una estructura alxebraica creada a partir d'un dominiu de definición conxuntu non vacíu, una operación interna (llamada suma, definida pa los elementos del conxuntu) y una operación esterna (llamada productu por un angular, definida ente dichu conxuntu y otru conxuntu, con estructura de cuerpu ), con 8 propiedaes fundamentales.
A los elementos d'un espaciu vectorial llámase-yos vectores y a los elementos del cuerpu, angulares.
Historia Históricamente, les primeres idees que conducieron a los espacios vectoriales modernos remontar al sieglu XVII: xeometría analítica, matrices y sistemes d'ecuaciones lliniales.
Los espacios vectoriales derivar de la xeometría allegada al traviés de la introducción de coordenaes nel planu o l'espaciu tridimensional. Alredor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron les bases de la xeometría analítica por aciu la vinculación de les soluciones d'una ecuación con dos variables a la determinación d'una curva plana.. Pa llograr una solución xeométrica ensin usar coordenaes, Bernhard Bolzano introdució en 1804 ciertes operaciones sobre puntos, llinies y planos, que son predecesores de los vectores.. Esti trabayu fixo usu del conceutu de coordenaes baricéntricas d'August Ferdinand Möbius de 1827..
La primer formulación moderna y axomática deber a Giuseppe Peano, a finales del sieglu XIX. Les siguientes meyores na teoría d'espacios vectoriales provienen del analís funcional, principalmente d'espacios de funciones. Los problemes d'analís funcional riquíen resolver problemes sobre la converxencia. Esto fixo dotando a los espacios vectoriales d'una fayadiza topoloxía, dexando tener en cuenta cuestiones de proximidá y continuidá. Estos espacios vectoriales topolóxicossobre manera los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y ellaborada.
L'orixe de la definición de los vectores ye la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que ye un segmentu empobináu, unu de que los sos estremos ye l'orixe y l'otru un oxetivu. Los vectores reconsiderar cola presentación de los númberos complexos d'Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por esti postreru (Hamilton foi amás el qu'inventó'l nome de vector).. Son elementos de R² y R⁴; el tratamientu por aciu combinaciones lliniales remontar a Laguerre en 1867, quien tamién definió los sistemes d'ecuaciones lliniales.
En 1857, Cayley introdució la notación matricial que dexa una harmonización y simplificación de les aplicaciones lliniales. Cuasi coles mesmes, Grassmann estudió'l cálculu baricéntrico empecipiáu por Möbius. Previo conxuntos d'oxetos astractos dotaos d'operaciones.. Nel so trabayu, los conceutos d'independencia llinial y dimensión, lo mesmo que de productu angular tán presentes. En realidá'l trabayu de Grassmann de 1844 supera'l marcu de los espacios vectoriales, una y bones teniendo en cuenta la multiplicación, tamién, llevar a lo qu'anguaño se llamen álxebres. El matemáticu italianu Peano dio la primer definición moderna d'espacios vectoriales y aplicaciones lliniales en 1888..
Un desenvolvimientu importante de los espacios vectoriales deber a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde foi formalizáu por Banach na so tesis doctoral de 1920. y por Hilbert. Nesti momentu, el álxebra y el nuevu campu del analís funcional empezaron a interactuarsobre manera con conceutos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tamién nesti tiempu, los primeros estudios sobre espacios vectoriales d'infinites dimensiones realizáronse.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones n'otres cañes de la matemática, la ciencia y la inxeniería. Utilizar en métodos como les series de Fourier, que s'utiliza nes rutines modernes de compresión d'imáxenes y soníu, o apurren el marcu pa resolver ecuaciones en derivaes parciales. Amás, los espacios vectoriales apurren una forma astracta llibre de coordenaes de tratar con oxetos xeométricos y físicos, tales como tensores, que de la mesma dexen estudiar les propiedaes locales de variedaes por aciu téuniques de linealización.
Notación Dau un espaciu vectorial sobre un cuerpu , estrémense.
Los elementos de como: llámense vectores.
Caligrafíes d'otres obres
Si'l testu ye de física suelen representase so una flecha:
Los elementos de como: llámense angulares.
Definición d'espaciu vectorial Un espaciu vectorial sobre un cuerpu (como'l cuerpu de los númberos reales o los númberos complexos) ye un conxuntu non vacíu, dotáu de dos operaciones pa les cualos va ser zarráu:
operación interna tal que: 1) tenga la propiedá conmutativa, ye dicir
2) tenga la propiedá asociativa, ye dicir
3) tenga elementu neutru , (exemplu 0 nos reales) ye dicir
4) tenga elementu opuestu, ye dicir
y la operación productu por un angular:
operación esterna tal que: 5) tenga la propiedá asociativa:
6) Esistencia del elementu neutru multiplicativu (exemplu 1 nos reales) del cuerpu K, ye sí mesmu.
7) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma de vectores:
8) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma d'angulares:
Observaciones La denominación de los dos operaciones nun condiciona la definición d'espaciu vectorial polo que ye habitual atopar traducciones d'obres nes que s'utiliza multiplicación pal productu y adición pa la suma, usando les distinciones propies de l'aritmética.
Pa demostrar qu'un conxuntu ye un espaciu vectorial:
Ser si los sos dos operaciones, por casu y almiten una redefinición del tipu y cumpliendo les 8 condiciones esixíes.
Si supiéramos que ye un grupu conmutativu o abeliano respeuto la suma yá tendríamos probaos los apartaos 1, 2, 3 y 4.
Si supiéramos que'l productu ye una aición pela izquierda de tendríamos probaos los apartaos 5 y 6.
Si nun se diz lo contrario: .
Propiedaes
Si
Si ye ciertu. Si entós:
Notación
.
Observación
Si Si
Primer exemplu con demostración Quier probase que ye un espaciu vectorial sobre
Si xuega'l papel de y el de :
Los elementos:
son, de forma xenérica:
esto ye, pares de númberos reales. Por claridá caltiénse la denominación del vector, nesti casu o, nes sos coordenaes, añadiendo'l subíndice x o y pa denominar el so componente na exa x o y respeutivamente
En defínese la operación suma:
onde:
y la suma de o y v sería:
onde:
esto implica que la suma de vectores ye interna y bien definida.
La operación interna suma tien les propiedaes:
1) La propiedá conmutativa, esto ye:
2) La propiedá asociativa:
3) tien elementu neutru :
4) tenga elementu opuestu:
La operación productu por un angular:
El productu de a y o va ser:
onde:
esto implica que la multiplicación de vector por angular ye esterna y aun así ta bien definida.
5) tenga la propiedá asociativa:
Esto ye:
6) seya elementu neutru nel productu:
Que resulta:
Que tien la propiedá distributiva:
7) distributiva pela esquierda:
Nesti casu tenemos:
8) distributiva pela derecha:
Qu'en esti casu tenemos:
Queda demostráu que ye espaciu vectorial.
Exemplos d'espacios vectoriales
Los cuerpos Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre él mesmu, usando como productu por angular el productu del cuerpu.
ye un espaciu vectorial de dimensión unu sobre .
Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre'l so subcuerpo, usando como productu por angular el productu del cuerpu.
ye un espaciu vectorial sobre . ye un espaciu vectorial sobre .
Socesiones sobre un cuerpu L'espaciu vectorial más conocíu notáu como , onde n>0 ye un enteru, tien como elementos n-tuplas, esto ye, socesiones finitas de de llargor n coles operaciones:
(o1, o2, ..., on)+(v1, v2, ..., vn)=(o1+v1, o2+v2, ..., on+vn).
a(o1, o2, ..., on)=(au1, au2, ..., aun).
Les socesiones infinites de son espacios vectoriales coles operaciones:
(o1, o2, ..., on, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(o1+v1, o2+v2, ..., on+vn, ...).
a(o1, o2, ..., on, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).
L'espaciu de les matrices , , sobre , coles operaciones:
Tamién son espacios vectoriales cualquier agrupación d'elementos de nes cualos defínase les operaciones suma y productu ente estes agrupaciones, elementu a elementu, similar al de matrices , asina por casu tenemos les caxes sobre qu'apaecen nel desenvolvimientu de Taylor d'orde 3 d'una función xenérica.
Espacios d'aplicaciones sobre un cuerpu El conxuntu de les aplicaciones , un cuerpu y un conxuntu, tamién formen espacios vectoriales por aciu la suma y la multiplicación habitual:
Los polinomios 200px|thumb|Suma de f(x)=x+x² y g(x)=-x².
L'espacio vectorial K[x] formáu por funciones polinómiques, veámoslo:
Espresión xeneral: ,onde los coeficientes , considérese .
, onde y ,
.
Les series de potencies son similares, sacantes se dexen infinitos términos distintos de cero.
Funciones trigonométriques Les funciones trigonométriques formen espacios vectoriales coles siguientes operaciones:
Espresión xeneral:
,
.
Los sistemes d'ecuaciones lliniales homoxénees
170px|thumb|Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables
o equivalentemente simplificáu como
Un sistema d'ecuaciones lliniales homoxénees( ecuaciones lliniales nes que ye siempres una solución, esto ye, ) tien soluciones que formen un espaciu vectorial, puede vese nos sos dos operaciones:
Si
Si .
Tamién que les ecuaciones en sí, files de la matriz notaes como una matriz , esto ye, , son un espaciu vectorial, como puede vese nos sos dos operaciones:
Si
Si .
Definición de subespacio vectorial Sía un espaciu vectorial sobre , y un subconxuntu non vacíu de , dizse que ye un subespacio vectorial de si:
y .
Consecuencies herieda les operaciones de como aplicaciones bien definíes, ye dicir que nun escapen de , y de resultes tenemos que ye un espaciu vectorial sobre .
Con cualquier subconxuntu d'elementos escoyíos nos espacios vectoriales anteriores, non vacíu, pueden xenerase subespacios vectoriales, pa ello seria útil introducir nuevos conceutos que van facilitar el trabayu sobre estos nuevos espacios vectoriales.
Resultaos internes Pa detallar el comportamientu internu de tolos espacios vectoriales de manera xeneral ye necesariu esponer una serie de ferramientes cronológicamente venceyaes ente elles, coles cualos ye posible construyir resultaos válides en cualquier estructura que seya espaciu vectorial.
Combinación llinial 250px|thumb|Cada vector u ye combinación llinial de forma única
Dau un espaciu vectorial , vamos dicir qu'un vector ye combinación llinial de los vectores de si esisten angulares ||left}} Vamos Notar como el conxuntu resultante de toles combinaciones lliniales de los vectores de .
Proposición 1
Dau un espaciu vectorial y un conxuntu de vectores, el conxuntu ye'l subespacio vectorial más pequeñu conteníu en y que contién a .
Nota. Nesti casu dizse que ye un sistema de xeneradores que xenera a .
Independencia llinial Vamos Dicir qu'un conxuntu de vectores ye linealmente independiente si'l vector 0 nun puede espresase como combinación llinial non nula de los vectores de , esto ye:
Si .
Vamos Dicir qu'un conxuntu de vectores ye linealmente dependiente si nun ye linealmente independiente.
Proposición 2 son linealmente dependientes
Base d'un espaciu vectorial
Les bases revelen la estructura de los espacios vectoriales d'una manera concisa. Una base ye'l menor conxuntu (finito o infinitu) B = {vi}i ∈ I de vectores que xeneren tol espaciu. Esto significa que cualquier vector v puede ser espresáu como una suma (llamada combinación llinial) d'elementos de la base :a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin, onde los