thumb|350px|Configuraciones duales: un cuadrángulo y un cuadrilátero

Para nociones generales de dualidad en matemáticas, véase dualidad

En geometría, una característica llamativa del plano proyectivo es la simetría entre los papeles que desempeñan puntos y rectas en numerosas definiciones y teoremas. La dualidad en el (plano) es la formalización de este concepto.

Existen dos enfoques para el tema de la dualidad, uno a través del lenguaje (mediante el Principio de dualidad); y el otro es un enfoque más funcional, a través de una aplicación especial. Ambos son completamente equivalentes y cualquiera de los tratamientos tiene como punto de partida la correspondiente versión de los axiomas de las geometrías consideradas.

En el enfoque funcional existe una correspondencia entre las geometrías relacionadas, que se denomina dualidad. Tal correspondencia se puede establecer de muchas maneras. El concepto de dualidad en el plano se extiende fácilmente a la dualidad espacial, y más aún, a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.

Principio de dualidad Un plano proyectivo se puede definir axiomáticamente como una estructura de incidencia, en términos de:

Un conjunto de puntos Un conjunto de rectas Y una matriz de incidencia que determina qué puntos se encuentran en qué rectas

Estos conjuntos se pueden usar para definir una estructura dual plana.

Intercambiando el papel de puntos y rectas en

se obtiene la estructura dual , donde es la relación inversa de . El resultado, , es también un plano proyectivo, llamado el plano dual de .

Si y son isomorfos, entonces se denomina auto-dual. Los planos proyectivos para cualquier campo (o, más generalmente, para cada anillo de división (campo asimétrico) isomorfo para su dual) son autoduales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre autoduales. Sin embargo, existen planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos de Hall y algunos que sí lo son, como los planos de Hughes.

En un plano proyectivo, una afirmación que implica puntos, rectas y relaciones de incidencia entre ellos que se obtiene de otra declaración al intercambiar las palabras "punto" y "recta" y hacer los ajustes gramaticales necesarios, se denomina declaración dual plana del primero. La declaración dual del plano en la que se afirma que "Dos puntos están en una única recta" se corresponde con "Dos rectas se encuentran en un único punto". Formar el plano dual de un enunciado se conoce como dualizar el enunciado.

Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo , entonces la declaración dual de ese enunciado debe ser verdadera en el plano dual . Esto es consecuencia de que la dualización de cada enunciado probado "en " produce la correspondiente prueba dualizada "en ".

El Principio de dualidad del plano establece que la dualización de cualquier teorema en un plano proyectivo autodual produce otro teorema válido en el propio .

Los conceptos anteriores se pueden generalizar para tratar la dualidad espacial, donde los términos "puntos" y "planos" se intercambian (y las rectas siguen siendo rectas). Esto lleva al Principio de dualidad del espacio.

Estos principios proporcionan una buena razón para preferir usar términos "simétricos" para la relación de incidencia. Por lo tanto, en lugar de decir "un punto se encuentra en una recta", se debería decir "un punto incide con una recta", dado que de esta manera la dualización solo implicaría intercambiar los términos punto y recta ("una recta incide con un punto").

La validez del Principio de dualidad del plano se deriva de la definición axiomática de un plano proyectivo. Los tres axiomas de esta definición pueden escribirse de modo que sean afirmaciones autoduales que implican que el dual de un plano proyectivo es también un plano proyectivo. El dual de una afirmación verdadera en un plano proyectivo es, por lo tanto, una afirmación verdadera en el plano proyectivo dual, lo que implica que para los planos autoduales, el dual de una afirmación verdadera en ese plano, también es una afirmación verdadera en el propio plano.

Teoremas duales Como plano proyectivo real, , es autodual, existe una serie de parejas de resultados bien conocidos que son duales uno del otro. Algunos de estos son:

Teorema de Desargues ⇔ Conversión del teorema de Desargues Teorema de Pascal ⇔ Teorema de Brianchon Teorema de Menelao ⇔ Teorema de Ceva

Configuraciones duales Además de las declaraciones, también se pueden dualizar los sistemas de puntos y rectas.

Un conjunto de puntos y de rectas se denomina configuración si las rectas pasan por cada punto y de los puntos se encuentran en cada recta. El dual de una configuración , es una configuración . Por lo tanto, el dual de un cuadrángulo, una configuración (43, 62) de cuatro puntos y seis rectas, es un cuadrilátero, una configuración (62, 43) de seis puntos y cuatro rectas.

El conjunto de todos los puntos de una recta, denominado rango proyectivo, tiene como dual un haz de rectas, el conjunto de todas las rectas que inciden en un punto dado.

Dualidad como aplicación

Dualidades del plano

Una dualidad plana es una aplicación de un plano proyectivo sobre su plano dual (véase Principio de dualidad) que conserva sus relaciones de incidencia. Es decir, una dualidad del plano asignará puntos a rectas y rectas a puntos ( y ) de tal manera que si un punto está en una recta (denotada por ) entonces . Una dualidad plana que es un isomorfismo se denomina correlación. Recíprocamente, la existencia de una correlación significa que el plano proyectivo es autodual.

El plano proyectivo en esta definición no necesita ser un plano desarguesiano. Sin embargo, si lo es, esto es, si siendo un anillo de división (asimétrico), entonces una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales, produce una dualidad de plano en que satisface la definición anterior.

En espacios proyectivos generales

Una dualidad de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de (también denotada por , siendo un cuerpo (o más generalmente un anillo de división) que invierte la inclusión,Algunos autores usan el término "correlación" para la dualidad, mientras que otros, como aquí se hace, usan el término correlación para un cierto tipo de dualidad. que es: implica que para todos los subespacios de . Dembowski usa el término "correlación" para referirse a dualidad. En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión con objetos de dimensión (= codimension ). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión , los puntos (de dimensión 0) corresponden a hiperplanos (de codimension 1), las rectas que unen dos puntos (de dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (de codimension 2), y así sucesivamente.

Clasificación de dualidades Nota: En esta sección, se usa la terminología geométrica tradicional de "espacios vectoriales a la derecha (o a la izquierda) sobre campos asimétricos (skewfields en inglés)" en lugar de los términos algebraicos "módulos sobre un anillo de división".

El "dual" de un espacio vectorial de dimensión finita (a la derecha) sobre un campo asimétrico se puede considerar como un espacio vectorial (a la derecha) de la misma dimensión sobre el campo asimétrico opuesto . Existe, por lo tanto, una biyección de inversión inclusiva entre los espacios proyectivos y . Si y son isomorfos, entonces existe una dualidad en . Por el contrario, si admite una dualidad para , entonces y son isomorfos.

Sea π una dualidad de para . Si π está compuesto con el isomorfismo natural entre y , la composición es una biyección de preservación de la incidencia entre y . Por el Teorema fundamental de la geometría proyectiva es inducido por una aplicación semilineal con isomorfismo asociado , que se puede ver como un antiautomorfismo de . En la literatura clásica, π en general se denominaría una reciprocidad, y si entonces se llamaría una correlación (y necesariamente sería un campo). Algunos autores suprimen el papel del isomorfismo natural y llaman a una dualidad.Por ejemplo, Cuando se da esta condición, una dualidad se puede considerar como una colineación entre un par de espacios proyectivos especialmente relacionados y se denomina reciprocidad. Si esta colineación es una proyectividad, entonces se denomina correlación.

Sea que denota el funcional lineal de asociado con el vector en . Defínase la forma por:

es una forma sesquilineal no degenerada con antiautomorfismo acompañante .

Cualquier dualidad de para es inducida por una forma sesquilineal no degenerada en el espacio vectorial subyacente (con un antiautomorfismo acompañante) y viceversa.

Formulación en coordenadas homogéneas

Las coordenadas homogéneas se pueden usar para dar una descripción algebraica de las dualidades. Para simplificar este análisis, se asume que es un campo, pero que las conclusiones se pueden hacer extensivas de la misma manera cuando es un campo asimétrico siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no tiene por qué ser una operación commutativa.

Los puntos de se pueden tomar como los vectores distintos de cero en el espacio vectorial ()-dimensional sobre , donde se identifican dos vectores que difieran por un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos del espacio proyectivo -dimensional son los subspacios vectoriales unidimensionales, que se pueden visualizar como las rectas que pasan a través del origen en . El concepto de dimensión se está utilizando aquí en dos sentidos diferentes. Cuando se refiere a un espacio proyectivo, el término se usa en la forma geométrica común, donde las rectas son de 1 dimensión y los planos son objetos de 2 dimensiones. Sin embargo, cuando se aplica a un espacio vectorial, dimensión significa el número de vectores en una base, y una base para un subespacio vectorial, pensado como una recta, tiene dos vectores en ella, mientras que una base para un espacio vectorial, pensado como un plano, tiene tres vectores en él. Si el significado no está claro desde el contexto, los términos "proyectivo" o "geométrico" se aplican al concepto de espacio proyectivo, mientras que "algebraico" o "vector" se aplican al espacio vectorial. La relación entre los dos es simplemente: dimensión algebraica = dimensión geométrica + 1. También los subespacios -dimensionales (vectoriales) de representan hiperplanos ()-dimensionales (geométricos) del espacio proyectivo sobre , es decir, .

Un vector distinto de cero en también determina un subespacio -dimensional geométrico (hiperplano) , dado por . Cuando un vector se usa para definir un hiperplano de esta manera, se denotará como , mientras que si designa un punto, se utilizará el término . Se denominan coordenadas de punto o coordenadas de hiperplano respectivamente (en el importante caso de dos dimensiones, las coordenadas de hiperplano se llaman coordenadas de recta). Algunos autores distinguen cómo se debe interpretar un vector escribiendo las coordenadas de hiperplano como vectores horizontales (fila) mientras que las coordenadas de punto se escriben como vectores verticales (columna). Por lo tanto, si es un vector columna, se tendría que mientras que . En términos del producto escalar habitual, . Como es un campo, el producto escalar es simétrico, es decir, .

Un ejemplo fundamental Puede establecerse una reciprocidad simple (en realidad, una correlación) entre puntos e hiperplanos mediante , que se extiende a una reciprocidad entre la recta generada por dos puntos y la intersección de dos de tales hiperplanos, y así sucesivamente.