250px|thumb|Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b. La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:Cf. "Media generalizada". Merigó. The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

media cuadrática media aritmética media geométrica media armónica

Definición Sea una variable discreta que asume los valores positivos , el número

se denomina media potencial de grado de los números . En particular, el númeroPublicación referida, pg. 17

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

se llama media cuadrática;,Publicación referida, la misma pg. finalmente, el número

se denomina media armónica de los números .

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado , de modo que puede asumir cualquier valor real

Y el valor de x debe ser positivo.Condición necesaria en la definición de cβ que usa una función exponencial xβ

Proposiciones Comparación con la media geométrica Si son números positivos y, a su vez, entonces se cumple

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Producto versus suma de n-ésinas potencias Dado los números positivos x1, x2,..., xn se cumple que

nx1 x2... xn ≤ x1n + x2n + xnnObra citada, pg. 18

Monotonía de la media potencial respecto al grado Si x1, x2,..., xn son números posiivos y m < p, se tiene C m≤ Cp. Ocurre la igualdad C m = Cp únicamente si

x1 = x2 =... = xn.

Relación de orden entre diversas medias potenciales Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c0, se tiene la siguiente sucesiónObra citada; pg. 29 c-1 ≤ c0 ≤ c1 ≤ c2

Propiedades

Para es continua respecto a . Obsérvese que para valores de la expresión solo tiene sentido si todos los .

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.

Aplicaciones Media geométrica En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla en la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

Radio promedio Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.Adaptación a las definiciones de la publicación de Korovkin

Sean r1= 6, r2 = 8, r3 = 11 y r4 = 15.

Se aplica la media cuadrática

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

Medida promedial de arista Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.Procedimiento sobre la base de la definición de media potencial

Sean a1 = 8, a2 = 10 y a3 = 12

En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería

Velocidad promedio Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de y aguas arriba a la velocidad de , hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores , , para los datos dados, resulta distinto al promedio aritmético .

Véase también Media aritmética Media armónica Media cuadrática Media geométrica Media heroniana

Notas y referencias

Bibliografía Korovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.

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