El teorema de las categorías de Baire o simplemente teorema de Baire es una herramienta importante en topología general y en análisis funcional. El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire. La versión para espacios métricos completos fue demostrada por René-Louis Baire en su tesis doctoral de 1899.
Enunciado del teorema
Un espacio de Baire es un espacio topológico con la propiedad siguiente: para cada colección numerable de conjuntos abiertos densos , su intersección es densa.
(TCB1) Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire. En términos más generales, todo espacio topológico que es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. Así, todo espacio topológico completamente metrizable es un espacio de Baire. (TCB2) Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. La prueba es similar a lo anterior, la propiedad de la intersección finita toma el papel jugado por la completitud.
Ninguna de estas afirmaciones implica la otra, ya que hay espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita), y hay espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizables (por ejemplo, cualquier producto no numerable de espacios de Hausdorff compactos no triviales; también, varios espacios de funciones utilizados en el análisis funcional, o el espacio de Fort no numerable). Ver Steen y Seebach en las referencias siguientes.
(TCB3) Un espacio métrico completo no vacío no es unión numerable de conjuntos diseminados.
Esta formulación es equivalente a TCB1 y a veces es más útil en aplicaciones. También: si un espacio métrico completo no vacío es la unión numerable de conjuntos cerrados, entonces uno de estos conjuntos cerrados tiene interior no vacío.
Relación con el axioma de elección
Las demostraciones de TCB1 y TCB2 para espacios métricos completos arbitrarios requieren alguna forma del axioma de elección y, de hecho, TCB1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente, una forma débil del axioma de elección.Blair 1977
Es posible demostrar sobre ZF, sin necesidad de principios de elección adicionales, una forma restringida del teorema de las categorías de Baire, en la que se supone que el espacio métrico completo también es separable.Levy 1979, p. 212 Esta forma restringida se aplica en particular a la recta real, el espacio de Baire , y el espacio de Cantor .
Utilización del teorema TCB1 se utiliza en el análisis funcional para demostrar el teorema de la función abierta , el teorema del grafo cerrado y el principio de acotación uniforme.
TCB1 también muestra que todo espacio métrico completo no vacío sin puntos aislados es no numerable. (Si es un espacio métrico completo numerable sin puntos aislados, entonces todo conjunto unipuntual en es denso en ninguna parte, y por lo tanto es de primera categoría.) En particular, esto demuestra que el conjunto de todos los números reales es no numerable.
TCB1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire:
El espacio de los números reales Los números irracionales, con la métrica definida por , donde es el primer índice para el que las fracciones continuas de e difieren (este es un espacio métrico completo). El conjunto de Cantor.
Por TCB2, toda variedad Hausdorff de dimensión finita es un espacio de Baire, ya que es localmente compacto y Hausdorff. Esto es así incluso para las variedades no paracompactas (y por lo tanto no metrizables) como la recta larga.
Demostración de TCB1
La siguiente es una demostración estándar que un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire.
Sea una colección numerable de subconjuntos abiertos densos de . Queremos demostrar que la intersección es densa en . Un conjunto es denso si y solo si cualquier otro subconjunto abierto no vacío lo interseca. De modo que para demostrar que una intersección de conjuntos es densa es suficiente con demostrar que cualquier abierto no vacío tiene un punto que pertenece a para todo .
Dado abierto no vacío, se construyen dos sucesiones y de la siguiente manera:
Para , dado que es denso, tiene intersección no nula con , y dado que los dos conjuntos son abiertos, su intersección también y por tanto existen y tales que:
donde y denotan respectivamente la bola abierta y cerrada de centro y radio . Como es un abierto no vacío y es denso, podemos usar el mismo razonamiento para encontrar y , y en general y de manera que:
Además, se escogen tal que
Por este procedimiento se construyen las sucesiones y .
Dado que y que cuando , la sucesión es de Cauchy. Dado que es un espacio completo, existe límite de la sucesión .
Teniendo en cuenta que para cada , todos los términos de la sucesión excepto un número finito de ellos están dentro de y que consideramos las bolas cerradas,
Por tanto para todo , que es lo que se quería demostrar.
Referencias
R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. di Mat., 3:1–123, 1899. Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., v. 25 n. 10, pp. 933–934. Levy, Azriel (1979), Basic Set Theory. Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0-486-42079-5 Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-12-622760-8 Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
Enlaces externos T. Tao, 245B, Notes 9: The Baire category theorem and its Banach space consequences
Categoría:Análisis funcional