En fundamentos de las matemáticas, filosofía de las matemáticas y filosofía de la lógica, el formalismo matemático es una teoría que sostiene que las proposiciones de las matemáticas y la lógica pueden considerarse como declaraciones sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de símbolos o términos o cadena de caracteres.Weir, Alan: Formalism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.)Hourya Benis Sinaceur Tarski’s Practice and Philosophy: Between Formalism and Pragmatism
Por ejemplo, la geometría euclidiana puede ser visto como un juego de lenguaje cuyo objetivo consiste en mover ciertas cadenas de símbolos (llamados axiomas) de acuerdo con un conjunto de reglas llamadas reglas de inferencia para generar nuevas cadenas. En este juego se puede demostrar o probar que el teorema de Pitágoras es válido porque la cadena que representa el teorema de Pitágoras se puede construir usando sólo las reglas establecidas.
De acuerdo con el formalismo, las "verdades" expresadas en la lógica y las matemáticas no son acerca de los números, series, o triángulos o cualquier otra materia específica — de hecho, no son "sobre" nada en absoluto. Son formas sintácticas cuyos contenidos o significados o referencias (ver Sobre el sentido y la referencia) no existen a menos que se les dé una interpretación (o semántica).
En la actualidad algunosWeir, Alan: Formalism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.) —siguiendo a Michael ResnikM Resnik (1980): "Frege and the Philosophy of Mathematics"— clasifican el formalismo en "formalismo de juego". "Formalismo de términos" (aquel en el cual los términos (axiomas) solo se denotan a sí mismos y de ellos se deriva proposiciones, pero sin pronunciarse acerca de la realidad ontológica de los mismos; lo que se busca no es prueba de existencia, pero coherencia. etc.
A partir de la década de los 80 del , algunos han propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal debe ser sistemáticamente codificados en formatos legibles por un ordenador, a fin de facilitar la comprobación o chequeo automatizadas de las demostraciones matemáticas; la Demostración automática de teoremas y el uso de Demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de las teorías matemáticas y programas informáticos. Debido a su estrecha relación con la informática, esta idea también es atractiva a matemáticos logicistas; intuicionistas y constructivistas de la tradición de la "computabilidad"Ver, por ejemplo: Adam Grabowski y Adam Naumowicz (2009) Preface a Computer Reconstruction of the Body of Mathematics Volume 18(31) de STUDIES IN LOGIC, GRAMMAR AND RHETORIC (ver también Proyecto Mizar, la biblioteca matemática que contiene la colección más grande del mundo de obras matemáticas estrictamente formalizadas y computarizadas.) (pero ver más abajo).
Se ha sugerido que la adopción del punto de vista formalista exime a los matemáticos de la necesidad de preocuparse por cuestiones de los “fundamentos de las matemáticas” y proceder como si estos asuntos hubieran sido resueltos o carecieran de interés matemático. Muchos agregan que, en la práctica, los sistemas axiomáticos que se estudian son sugeridos por las exigencias de la ciencia en cada caso particular.
Historia y evolución del concepto
Aun cuando la idea básica de la formalización de los términos lógico-matemáticos tiene una trayectoria bastante larga,Ver, por ejemplo . Pedro Angulo L: Formalismo Matemático y Epistemología ( Parte 1) y por lo menos en parte debido a la llamada crisis de los fundamentos de las matemáticas, hacia finales del comenzó a tomar arraigo la tesis que es posible definir las matemáticas como el resultado de la manipulación de símbolos de acuerdo a ciertas reglas. Por ejemplo, en 1898, se propuso que:
Generalmente se considera que el fundador del formalismo moderno es David Hilbert.Diego Pareja H (2008): "el concepto moderno de formalismo que incluye las técnicas del razonamiento finitista debemos atribuirlo a Hilbert y a sus discípulos." en 5. 8 – David Hilbert y el formalismo. Razonamientos finistas son aquellos "razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha" (ibid) Hacia fines del y comienzos del el interés de Hilbert era la construcción axiomática; consistente y completa de la totalidad de las matemáticas,Ferran Mir S (2006) : "La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de Paris de 1900, en la que planteo los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón [6, Pags. 125 y ss.]: "En las matemáticas no existe el ignorabimus". Un año antes, Hilbert había publicado su Grundlagen der Geometrie, en el que establecía los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclideas como no euclideas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completud del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga [13, P·g. 151], pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También esta presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros." en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. seleccionando como punto de partida los números naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvía la necesidad de definir los objetos básicos (op. cit) con el fin de lograr un sistema completo y consistente. (nótese que en lo anterior Hilbert considera el cálculo como Cálculo lógico, llevando a cabo inferencias (no necesaria o exclusivamente deductivas) a partir de una concepción axiomática de los números naturales, concepción que toma esos números como evidentes en la medida que solo se refieren a sí mismos.- ver Programa de Hilbert).
Sin embargo el optimismo en la "implementabilidad" del proyecto fue de corta duración, debido al teorema de incompletitud de Gödel, que demostró que cualquier sistema de axiomas que incluya los números naturales es ya sea incompleto o contradictorio.
A pesar de lo anterior, Alfred Tarski retomó el concepto, pero introduciendo la idea que el estatus (corrección, validez, etc) de una prueba o demostración es relativa a los axiomas elegidos para expresar la teoría en cuestión.H. B. Sinaceur (2009): 2.2 Tarski's versión of Formalism en Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them? Sten Lindström et al, edtrs. pp 375-6 Tarski comenzó -en la década del 30 del - buscando redifinir ciertos conceptos semánticos (en particular, el de Verdad (ver aquí), con el fin último de construir un sistema formal axiomático que permitiera la reformulación de teoremas en el lenguaje de ese sistema, eliminando así los problemas.Ver Gómez-Torrente, Mario, Alfred Tarski, en The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.) Es generalmente aceptado que en ese proyecto Tarski transformó radicalmente el sistema "metamatemático" de Hilbert, mostrando, entre otras cosas, que las consecuencias lógicas de un argumento siguen de ese argumento si y solo si cada modelo de las premisas es un modelo de las conclusiones.Tarski (1936) : "On the concept of logical consequence" (lo anterior se puede resumir en lo que Jaakko Hintikka llama los "teoremas de inconsistencia y la imposibilidad", la proposición que conceptos tales como "verdad" no pueden ser usados en lenguajes de primer orden (digamos por ejemplo: el común y corriente) sin caer en inconsistencias. Esos conceptos solo pueden ser definidos y usados en un "metalenguaje". Eventualmente Tarski creyó que la manera de resolver el problema en matemáticas es basar la totalidad de las matemáticas en el álgebra.Para todo esto, ver J Hintikka (2004): ON TARSKI’S ASSUMPTIONS)
Uno de los estudiantes más conocidos de Hilbert fue John von Neumann quien, en 1931,J. von Neumann (1931) "The Formalist Foundations of Mathematics" buscó presentar el formalismo como una síntesis dialéctica de la tesis logicista y la antítesis intuicionista. Von Neumann promovió el uso de modelos matemáticos que, explícitamente, buscan ser coherentes con el conjunto de axiomas de la teoría, cualquiera sean esos axiomas (ver Teoría de juegos). Estos trabajos resultaron de mayor importancia para desarrollos científicos contemporáneos,Para todo esto, ver Robert Leonard (2010): Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory: From Chess to Social Science, 1900-1960 desde la economíaSandye Gloria-Palermo (2010): Introducing Formalism in Economics: The Growth Model of John von Neumann a la mecánica cuántica.P. Jordan, J. v. Neumann and E. Wigner: (1933): On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism Annals of Mathematics.- Second Series, Vol. 35, No. 1 (Jan., 1934), pp. 29-64 (ver Postulados de la mecánica cuántica).
Rudolf CarnapCarnap, Rudolf, 1934/37, Logische Syntax der Sprache, Vienna: Springer. Sin traducción al castellanoPara una introducción a esta materia, ver Thomas Ricketts : "Frege, Carnap and Quine: Continuities and Discontinuities" en Carnap Brought Home: The View from Jena Steve Awodey, Carsten Klein (2005) Edtrs, p 181 y sig (esp p 191 y sig confronta directamente el problema generado por los teoremas de Gödel,Para una examinacion de estos asuntos, ver S. Awodey y A. W. Carus: "How Carnap Could Have Replied to Godel. en Carnap Brought Home: The View from Jena Steve Awodey, Carsten Klein (2005) Edtrs, pp 203-224 buscando resolverlo por medio del llamado "Principio de tolerancia":T Ricketts (op. cit, p 191): "Carnap llega a creer que ninguna tentativa de formular el principio de las inferencias demostrativas (probatorias) y mostrar que formulaciones alternativas son ya sea variables de notación o incorrectas puede tener éxito. La tentativa de lograrlo conduce a un estéril debate entre las escuelas de lógicos, demasiado reminescentes de los debates que, a los ojos de Carnap, marcan mucho de la historia de la filosofía" En lógica, no hay moral. Todo el mundo es libre de construir su propia lógica, es decir, su propia forma de lenguaje, como quiera. [énfasis de Carnap] . Carnap extiende esa tolerancia a las matemáticas: "La actitud tolerante aquí se sugiere es, en cuanto a los cálculos matemáticos especiales se refiere, la actitud que es tácitamente compartida por la mayoría de los matemáticos." Adicionalmente Carnap busca eliminar totalmente la relevancia del significado para las matemáticas. La corrección (nótese el término) de un teorema es decidida no en relación con consideraciones o algún conjunto de reglas "externas" sino en relación con las que se eligen para el sistema específico del cual el teorema se deriva, el único en el cual tiene sentido.Para todo esto, ver Weir, Alan, 4. Formalism and the Positivists en Formalism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.)