miniaturadeimagen|Principia Mathematica, una de las obras más importantes sobre filosofía de las matemáticas.
La filosofía de las matemáticas es un área de la filosofía teórica que trata de comprender y explicar los requisitos, el objeto, el método y la naturalezaNatura es la traducción latina de la palabra griega physis (φύσις), que en su significado original hacía referencia a la forma innata en la que crecen espontáneamente plantas y animales. (ver D. Harper Physical). En Idioma alemán el término "naturaleza" proviene de naturist, que significa "el curso de los animales, carácter natural."(ver D. Harper: Nature de las matemáticas. Como área de estudio puede ser aproximada desde dos direcciones: el punto de vista de los filósofos y el de los matemáticos. Desde el punto de vista filosófico, el objetivo principal es dilucidar una variedad de aspectos problemáticos en la relación entre las matemáticas y la filosofía. Desde el punto de vista matemático, el interés principal es proveer al conocimiento matemático de fundamentos firmes. Es importante mantener presente que aunque estos dos enfoques pueden implicar diferentes esquemas e intereses, no son opuestos, sino más bien complementarios: «Cuando los matemáticos profesionales se ocupan de los fundamentos de su disciplina, se dice que se dedican a la investigación fundamental (o trabajo fundacional o de fundamentos.- ver Metamatemática). Cuando los filósofos profesionales investigan cuestiones filosóficas relativas a las matemáticas, se dice que contribuyen a la filosofía de las matemáticas. Por supuesto, la distinción entre la filosofía de las matemáticas y los fundamentos de las matemáticas es vaga, y cuanto mayor interacción haya entre los filósofos y los matemáticos que trabajan en cuestiones relativas a la naturaleza de las matemáticas, mejor.».Horsten, Leon, Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
De acuerdo a Jeremy Avigad (profesor de ciencias matemáticas y de filosofía en la Universidad Carnegie Mellon) “el conocimiento matemático ha sido considerado por mucho tiempo como un paradigma del conocimiento humano con verdades que son a la vez necesarias y ciertas, por lo que dar una explicación del conocimiento matemático es una parte importante de la epistemología. Los objetos matemáticos, tales como los números y los conjuntos, son ejemplos arquetípicos de abstracciones, dado que el tratamiento que reciben en nuestro discurso es el de objetos independientes del tiempo y el espacio. Encontrar un lugar para los objetos de este tipo en un marco más amplio del pensamiento es una tarea central de la ontología, o metafísica. El rigor y la precisión del lenguaje matemático se debe a que está basado en un vocabulario limitado y una gramática muy estructuradas, y las explicaciones semánticas del discurso matemático a menudo sirven como punto de partida de la filosofía del lenguaje. Aunque el pensamiento matemático ha demostrado un alto grado de estabilidad a través de la historia, su práctica también ha evolucionado con el tiempo, y algunos desarrollos han provocado controversia y debate; clarificar los objetivos básicos de esta práctica y los métodos apropiados es, por lo tanto, una tarea metodológica y fundacional importante que sitúa a la filosofía de las matemáticas dentro de la filosofía general de la ciencia. De acuerdo con Bertrand Russell, las matemáticas son una disciplina que, cuando se parte de sus porciones más familiares, puede llevarse a cabo en cualquiera de dos direcciones opuestas (una busca la expansión del conocimiento, la otra darle fundamentos: Nota del traductor). Pero se debe entender que la distinción es una, no en la materia objeto, sino en el estado de la mente del investigador...(...)... así como necesitamos dos tipos de instrumentos, el telescopio y el microscopio, para la ampliación de nuestras capacidades visuales, del mismo modo necesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliación de nuestras capacidades lógicas, uno para hacernos avanzar hacia las matemáticas superiores, y el otro que nos lleve hacia atrás, hacia los fundamentos lógicos de aquello que estamos inclinados a dar por sentado en las matemáticas. Veremos que mediante el análisis de las nociones matemáticas ordinarias se adquiere una nueva perspectiva, nuevos poderes, y los medios de llegar a nuevos temas matemáticos completos, mediante la adopción de nuevas líneas de avance, siguiendo nuestro viaje hacia atrás.Bertrand Russell: Introduction to Mathematical Philosophy chap 1
Como ya se ha sugerido, estas aproximaciones no son conflictivas. En las palabras de Imre Lakatos: «Al discutir los esfuerzos modernos por establecer los fundamentos del conocimiento matemático uno tiende a olvidarse de que se trata solo de un capítulo en el gran esfuerzo de superación del escepticismo estableciendo los fundamentos para el conocimiento en general. El objeto de mi contribución es mostrar que la filosofía matemática moderna está profundamente enraizada en la epistemología general y solamente se puede comprender en ese contexto». (énfasis de LakatosI Lakatos: “Infinite regress and foundations of mathematics” en Mathematics, science and epistemology Cambridge U Press, 1978, p. 4).
Introducción
Desde la antigüedad la filosofía ha tenido interés en, por lo menos, ciertos aspectos de la matemática.Por ejemplo: Iván Pedro Guevara V (2008): "La filosofía ha considerado siempre la matemática como uno de los objetos principales de sus investigaciones,.. " en LA FILOSOFIA DE LA MATEMATICA: LA RAZON DE SER DEL NUMERO.- Diego Fusaro: "Siempre hay una relación inseparable entre la matemática y la filosofía.." en IL RAPPORTO FILOSOFIA - MATEMATICA (en italiano en el original) En las palabras de Miguel de Guzmán: "Pero hay otros aspectos interesantes de la matemática que atraen de modo natural al filósofo. La dinámica interna del pensamiento matemático, la lógica de su estructura, simple, tersa, sobria, clara, hacen de ella un modelo de reflexión fiable que suscita el consenso de todos. Los filósofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matemático un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hipótesis y teorías.".M de Guzmán: Filosofía y matemáticas Mario Bunge va más lejos y llega a sugerir que las matemáticas son no sólo el fundamento del quehacer científico sino también del filosófico.Adianez Fernández Bermúdez: Una visión de la ciencia y su relación con la ética, en Mario Bunge
Por mucho de ese tiempo la opinión general era la que Carl Friedrich Gauss resumió: «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomía y a otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones, tiene derecho a la primera fila».R Gauss: frases célebres de o sobre Carl Friedrich Gauss. Esta preeminencia se debía a una percepción que, últimamente, emana de Platón: "En las matemáticas se halla el origen y fundamento de la teoría platónica de las formas o ideas. En esta la idealización de los entes matemáticos se transforma en la idealización de los entes físicos y psíquicos. La verdad matemática, por su invariabilidad en el tiempo, era el modelo a seguir en todo conocimiento intelectual. El método deductivo, que partiendo de axiomas y definiciones llegaba a la demostración de teoremas, era el modelo prestigioso de razonamiento para todo saber. En el diálogo "Menón" Sócrates, a través de preguntas y respuestas, hace que un esclavo alcance por su propio razonamiento una verdad matemática; así, de una manera popular, expone Platón que las matemáticas están en el alma humana, ya que en esta se halla presente el logos que gobierna el mundo material mediante las proporciones aritméticas y geométricas. Sólo se requiere la introspección para volvernos conscientes de ese saber interno.".
Esa posición es generalmente conocida como realismo; platonismo o realismo platónico y "de manera muy esquemática, puede sintetizarse en la creencia de que los objetos matemáticos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos.... existen fuera del espacio y del tiempo de la experiencia física y cualquier pregunta significativa sobre ellos tiene una respuesta definida. Así el matemático es, en este sentido, como un científico empírico que no puede inventar ni construir sino solo descubrir algo que ya existe.José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar p 127 Acorde con el físico Paul Davies: "Los científicos no usan las matemáticas simplemente como una forma conveniente de organizar los datos. Creen que las relaciones matemáticas reflejan aspectos reales del mundo físico."
Sin embargo, hacia fines del esta situación comenzó a cambiar, proceso que eventualmente culminó, a fines del y comienzo del , en la llamada crisis de los fundamentos:JAVIER DE LORENZO: "La matemática: de sus fundamentos y crisis"- Tecnos, MadridJOSÉ M. FERREIRÓS: The Crisis in the Foundations of Mathematics (en Princeton Companion to Mathematics Proof)Herman Weyl On the New Foundational Crisis in MathematicsMario O. González (1950): La crisis actual de los fundamentos de la Matemática "La imagen tradicional de las matemáticas (formal e infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada "crisis de los fundamentos de las matemáticas", que sucedió en el siglo XIX. Dicha "crisis" se originó principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la teoría de los conjuntos."Eduardo Harada O (2005): El cuasi empirismo en la filosofía de las matemáticas
Esa situación ha sido resumida de la siguiente maneraJosé Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar p 125- 156:
"Hasta bien entrado el , la geometría era universalmente considerada la rama más firme del conocimiento.... La Geometría era, simplemente, el estudio de las propiedades del espacio. Estas se manifestaban como verdades objetivas, universalmente válidas para la mente humana. Durante el sucedieron “varios desastres que iban a cambiar completamente esta situación. El primero fue el descubrimiento de geometrías no euclídeas, al que inmediatamente siguió otro desastre mayor: el desarrollo del análisis por caminos contrarios a la intuición geométrica (curvas que llenan el espacio, funciones continuas no diferenciables, etc.) lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del único fundamento que hasta entonces tenían las Matemáticas: la intuición geométrica. Esto era una auténtica catástrofe puesto que en algún sentido implicaba la pérdida de la certeza, no solo en la Matemática sino en todo el conocimiento humano. Se pensó entonces buscar otra “base segura” para fundamentar las Matemáticas, y así Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el análisis -el continuo- a partir de la Aritmética. Parecía que todo volvía a estar en orden, pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuición de contar y así los números enteros serían la nueva base segura para todo el edificio matemático... (ver programa de Hilbert).