Una teoría topológica cuántica de campo (TTCC), es una teoría cuántica de campos (TCC) que calcula invariantes topológicos.

Aunque las TTCCs fueron inventadas por los físicos, ellas también son de interés matemático, relacionado, entre otras cosas, con la teoría de nudos y la teoría de tetra-variedades en topología algebraica y la teoría de espacio modular en geometría algebraica. S. Donaldson, V. Jones, E. Witten y M. Kontsevich, han ganado la Medalla Fields por sus trabajos relacionados con la teoría de campos topológica.

En la física de materia condensada, las teorías topológicas cuánticas de campo son teorías efectivas de baja energía, de estados ordenados topológicos, como estados fraccionario de Efecto Hall cuántico, red-cadena condensada y otros estados líquidos cuánticos fuertemente correlacionados.

Resumen

En una teoría de campo topológica, las funciones de correlación no dependen de la métrica del espacio-tiempo. Esto significa que la teoría no es sensible a los cambios en la forma del espacio-tiempo; si el espacio-tiempo se combaMejorar traducción de "spacetime warp", tomado de Time warp (science fiction). o contrae, no cambian las funciones de correlación. En consecuencia, son invariantes topológicos.

Las teorías de campo topológicas no son muy interesantes en el espacio-tiempo plano de Minkowski usado en física de partículas. El espacio de Minkowski puede ser contraído a un punto, así que una TTCC en el espacio de Minkowski calcula sólo invariantes topológicos triviales. En consecuencia, Las TTCCs se estudian por lo general en espacio-tiempos curvos, como, por ejemplo, superficies de Riemann. La mayoría de las teorías de campo topológicas conocidas están definidas en espacio-tiempos de dimensión inferior a cinco. Parece que existen algunas teorías dimensionales superiores, pero no se entienden muy bien.

Se cree que la gravedad cuántica es independiente del fondo (en algún sentido adecuado) y TTCCs son ejemplos de fondo de las teorías de campo cuántico independiente. Esto ha impulsado la investigación teórica de esta clase de modelos.

(ADVERTENCIA: a menudo se dice que las TTCCs tiene finito grados de libertad. Esto no es una propiedad fundamental. Resulta ser cierto en la mayoría de los ejemplos que los físicos y matemáticos estudian, pero no es necesario. Un modelo sigma topológico con dimensión infinita espacio proyectiva de destino, si tal cosa pudiese definirse, tendría infinito grados de libertad).

Las teorías de campo topológico conocidas caen en dos clases generales: TTCCs tipo-Schwarz y TTCCs tipo-Witten. Las segundas, también se refieren a veces, como teorías de campo cohomológico.

TTCCs tipo-Schwarz

En TTCCs tipo-Schwarz, las funciones de correlación calculadas por la ruta integral son invariantes topológicos porque la medida integral de la ruta y los observables de campo cuántico son explícitamente independientes de la métrica. Por ejemplo, en el modelo BF, el espacio-tiempo es una variedad bidimensional M, las observables son construidas desde un formulario de dos-forma F, un auxiliar escalar B y sus derivados. La acción (que determina la integral de camino) es

La métrica del espacio-tiempo no aparece en esta teoría, por lo que la teoría es explícitamente topológicamente invariante. Otro ejemplo más famoso es la teoría de Chern-Simons, que puede utilizarse para calcular invariantes de nudo.

TTCCs tipo-Witten

En TTCCs tipo-Witten, la invarianza topológica es más sutil. Por ejemplo el lagrangiano para el modelo dependen explícitamente de la métrica, pero una muestra de cálculo que el valor esperado de la función de partición y una clase especial de funciones de correlación son en realidad un difeomorfismo invariante.

Formulaciones matemáticas

Los axiomas de Atiyah-Segal originales

Modelos específicos

Atiyah sugiere un conjunto de axiomas de la teoría cuántica topológica de campos que fueron inspirado por los axiomas de teoría conforme de campos de G. Segal y la idea de Witten del significado geométrico de la supersimetría,. Los axiomas de Atiyah están construidos pegados a la frontera con una transformación diferenciable (topológica o continua), mientras son Segal con transformación conforme. Estos axiomas han sido relativamente útiles para tratamientos matemáticos de TCCs tipo-Schwarz, aunque no es claro que capten toda la estructura de TCCs tipo-Witten. La idea básica es que una TTCC es un funtor de una determinada categoría de cobordismos a la categoría de espacios vectoriales.

De hecho, hay dos conjuntos diferentes de axiomas que razonablemente podrían llamarse axiomas de Atiyah. Estos axiomas difieren básicamente en si o no estudian una TTCC definida en una solo n-dimensional espacio-tiempo Riemann / Lorentz M fijo, o una TTCC definida en todos los n-dimensional espacio-tiempos a la vez.

Sea un anillo conmutativo con 1, por ejemplo, (en su lugar podemos tomar a ser un campo y que pueda reemplazar por el campo ). Atiyah propone originalmente los axiomas de una TTCC en dimensión d definida sobre un anillo de base Sea que es un anillo conmutativo con 1, por ejemplo, (en su lugar podemos tomar a ser un campo y que pueda reemplazar por el campo ). Atiyah propone originalmente los axiomas de una TTCC en dimensión d definida sobre un anillo de base como sigue, lo cual es símil a la categoría de espacios topológicos.

(A) Un módulo- finitamente generado , asociado a cada variedad cerrada d-dimensional diferenciable (correspondiente al axioma de homotopía ),

(B) Un elemento de asociado a cada variedad lisa orientada (d + 1)-dimensional (con borde) (correspondiente a un axioma aditivo ).

Estos datos están sujetos a los siguientes axiomas

(1) es funtorial con respecto a la orientación que preserva el difeomorfismos de y ,

(2) es involutivo, es decir, donde es con orientación opuesta y denota el módulo dual,

(3) es multiplicativa.

Además, Atiyah agrega dos axiomas. Es decir, son (4) y (5).

(4) para que la variedad vacía d-dimensional y para el variedad vacía (d + 1)-dimensional.

Si consideramos que , para cerrado, como un invariante numérico de , entonces de una variedad con borde, debemos pensarle como un invariante "relativo". Sea una orientación que preserve el difeomorfismo e identifique los extremos opuestos de por . Esto da una variedad y nuestros axiomas implican

donde es el automorfismo inducido de .

(5) (el axioma hermítico ). Equivalentemente, es el disjunto de .

Tenga en cuenta que para una variedad con borde siempre podemos formar el doble que es una variedad cerrada. (5) muestra que

siendo que a la derecha se computa la norma en la métrica hermítica (posiblemente indefinida).

La relación física Físicamente (2)+(4) está relacionada con invariancia relativista mientras (3)+(5) es indicativo de la naturaleza cuántica de la teoría.

indica el espacio físico (por lo general, d = 3 para física estándar) y la dimensión extra en es tiempo "imaginario". El espacio es el espacio de Hilbert de la teoría cuántica y una teoría física, con una Hamiltoniana , tendrá un operador de evolución temporal o un operador " tiempo imaginario" . La característica principal de las TCCs topológicas es que , lo que implica que no existe dinámica real o propagación, a lo largo del cilindro . Sin embargo, puede haber "propagación" no trivial (o túnel de amplitudes) de a a través de una intervención múltiple con ; Esto refleja la topología de .

Si , entonces el vector distinguido en el espacio de Hilbert es considerado como el Estado de vacío definido por . Para una variedad cerrada el número es el valor esperado del vacío. En analogía con la mecánica estadística también se le llama función de partición.

La razón de por qué una teoría con hamiltoniana nula puede ser formulada adecuadamente radica en la aproximación a TCC de la integral de camino de Feynman. Esto incorpora invariancia relativista (que abastece en general a "espacio-tiempos" (d + 1)-dimensionales) y la teoría se define formalmente escribiendo convenientemente una Lagrangiana ---una funcional de los campos clásicos de la teoría. Una Lagrangiana que implica sólo primeras derivadas en el tiempo, formalmente conduce a una Hamiltoniana nula, pero la Lagrangiana sí puede tener características no triviales que lo relacionen con la topología de .

Esta es la interpretación física del teorema de Borel-Weil o el teorema de Borel-Weil-Bott. La lagrangiana de estas teorías es la clásica acción (holonomía de la línea fibrada). Por lo tanto, la TTCC con d = 0 se relaciona naturalmente con la teoría de la representación clásica de grupo de Lie y grupos simétricos.

d = 1: deberíamos considerar condiciones de frontera periódicas dadas por lazos cerrados en una variedad simpléctica compacta . A lo largo de la holonomía rondan esos lazos utilizados en el caso de d = 0 tanto como una lagrangiana se utilice para modificar la hamiltoniana. Para una superficie cerrada , el invariante de la teoría es el número de mapeos pseudo holomorfos en el sentido de Gromov (son mapeos holomorfas ordinarios si es un variedad de Kaehler). Si este número se convierte en a infinito, es decir, si hay "módulos", entonces nos debemos fijar más datos en . Esto se puede hacer escogiendo algunos puntos y, a continuación, mirando mapeos holomorfos con obligados a yacer en un hiperplano fijo. ha escrito la lagrangiana pertinente para esta teoría. Floer ha dado un tratamiento riguroso, homología de Floer, basada en ideas de la teoría de Morse , para el caso cuando las condiciones de frontera son el intervalo, en lugar de periodos, los puntos inicial y final de los caminos se encuentran en dos variedades de Lagrange fijas. Esta teoría se ha desarrollado como la teoría de los invariantes de Grómov-Witten.

Otro ejemplo es teoría conforme de campos holomorfa. Esto pudiese no ser estrictamente TTCC en ese entonces, porque los espacios de Hilbert son infinito dimensionales. Las teorías de campo conformes están también relacionadas con el grupo de Lie compacto , en los que la fase clásica consiste en una extensión central del grupo de lazos . Cuantizar estos, produce los espacios de Hilbert de la teoría de representaciones (proyectivos) irreductibles de . El grupo ahora sustituye al grupo simétrico y desempeñan un papel importante. La función de partición en tales teorías depende de la compleja estructura: no es puramente topológica

d = 2, el más importante en este caso, es la teoría de Jones-Witten. Aquí, el espacio fase clásico asociado a una superficie cerrada , es el espacio de módulo plano -fibrado sobre . La Lagrangiana es un múltiplo entero de la función de Chern-Simons de una -conexión en una 3-variedad (que tiene que ser "enmarcada"). El entero múltiple , llamado el nivel, es un parámetro de la teoría y da el límite clásico. Esta teoría puede ser naturalmente acoplada para con la teoría d = 0 para producir una teoría "relativa". Los detalles han sido descritos por Witten que muestra que la función de partición de un vínculo (enmarcado) en la 3-esfera es sólo el valor del polinomio de Jones para una raíz adecuada de la unidad. La teoría puede definirse sobre el campo ciclotómico. Considerando la superficie de Riemann con frontera, podemos acoplarla a la teoría conforme d = 1 en lugar de hacerlo entre las teorías d = 2 y d = 0. Esta teoría ha sido desarrollada como la Jones-Witten y resultó ser el detonante de la unión de la teoría de nudos y la teoría cuántica.

d = 3, Donaldson ha definido invariante entero de 4-variedades mediante el uso de los espacios de módulo de - instantones. Estas invariantes son polinomios en la segunda homología. Así 4-variedades deben tener datos extras que consistan en el álgebra simétrica de . ha producido una Lagrangiana super-simétrica que reproduzca formalmente la teoría de Donaldson.