thumb|Modelo atómico de un cuasicristal de Ag-Al. Un cuasicristal es una forma estructural de la materia que es ordenada pero no periódica. Se forman patrones que llenan todo el espacio aunque tienen falta de simetría traslacional. Mientras que los cristales, de acuerdo al clásico teorema de restricción cristalográfica, pueden poseer solo simetrías rotacionales de 2, 3, 4, y 6 pliegues, el patrón de difracción de Bragg de los cuasicristales muestra picos agudos con otros órdenes de simetría, por ejemplo de 5 pliegues.
Las teselaciones aperiódicas fueron descubiertas por los matemáticos a principios de la década de 1960, y unos veinte años después se descubrió que podían ser aplicadas al estudio de los cuasicristales. El descubrimiento de estas formas aperiódicas en la naturaleza ha producido un cambio de paradigma en el campo de la cristalografía. Los cuasicristales ya habían sido investigados y observados anteriormenteSteurer W., Z. Kristallogr. 219 (2004) 391–446 pero hasta la década de 1980 fueron ignorados en favor de las ideas predominantes acerca de la estructura atómica de la materia.
A grandes rasgos, un ordenamiento es no-periódico si carece de simetría traslacional, lo que significa que una copia desplazada nunca se corresponderá exactamente con su original. La definición matemática más precisa es que nunca hay simetría traslacional en más de n – 1 direcciones linealmente independientes, donde n es la dimensión del espacio relleno; es decir, la teselación tridimensional mostrada en un cuasicristal puede tener simetría traslacional en dos dimensiones. La habilidad para difractar viene de la existencia de un número indefinidamente grande de elementos con un espaciado regular, una propiedad vagamente descrita como orden de largo alcance. Experimentalmente la aperiodicidad se revela en la inusual simetría del patrón de difracción, que es la simetría de órdenes diferentes a 2, 3, 4, o 6. El primer caso oficialmente reportado de lo que vino a conocerse como cuasicristales fue hecho por Dan Shechtman del Instituto Tecnológico Israelí y sus colaboradores en 1984. Shechtman recibió el Premio Nobel de Química en 2011 por sus hallazgos.http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/ Originalmente, la nueva forma de materia, los cuasicristales, fue llamada "Shechtmanita"'Impossible' Form of Matter Takes Spotlight In Study of Solids (New York Times) http://www.nytimes.com/1989/09/05/science/impossible-form-of-matter-takes-spotlight-in-study-of-solids.html?pagewanted=all&src=pm en honor de Shechtman por su descubrimiento, y tardó años en ganar legitimidad científica.Technion’s Shechtman Wins Chemistry Nobel for Discovery of Quasicrystals http://www.bloomberg.com/news/2011-10-05/technion-s-shechtman-wins-chemistry-nobel-for-discovery-of-quasicrystals.html
Historia thumb|Una teselación de Penrose. Las estructuras cuasiperiódicas han sido bien conocidas desde antes del . Por ejemplo, las teselas (mosaicos, baldosas) en una mezquita islámica medieval en Isfahán, Irán, están dispuestas en un patrón cuasicristalino. En 1961 Hao Wang hizo la pregunta de si el determinar si un conjunto de teselas admite una teselación del plano es un problema algorítmicamente irresoluble o no. Éste conjeturó que se puede resolver, basándose en la hipótesis de que cualquier conjunto de teselas que pueden revestir el plano puede hacerlo periódicamente (por lo que sería suficiente tratar de revestir patrones cada vez mayores hasta obtener uno que tesele periódicamente). Pero su alumno Robert Berger construyó dos años después un conjunto de unas 20 000 teselas cuadradas (llamadas ahora teselas de Wang) que pueden revestir el plano pero no en una disposición periódica. Conforme el número de conjuntos aperiódicos conocidos de teselas crece, cada conjunto parecía contener incluso menos teselas que el previo. En particular, Roger Penrose propuso en 1976 un conjunto de solo dos teselas (conocido como Teselación de Penrose) que produjo únicamente teselaciones no-periódicas del plano. Estas teselaciones mostraron ejemplos de simetría de cinco pliegues. En retrospectiva, fueron observados patrones similares en algunas teselaciones decorativas ideadas por arquitectos islámicos medievales.E. Makovicky (1992), 800-year-old pentagonal tiling from Maragha, Iran, and the new varieties of aperiodic tiling it inspired. In: I. Hargittai, editor: Fivefold Symmetry, pp. 67–86. World Scientific, Singapore-London Alan Mackay mostró experimentalmente en 1982 que el patrón de difracción de la teselación de Penrose tenía una transformada de Fourier bidimensional consistente en picos agudos "delta" dispuestos en un patrón de simetría de cinco pliegues. Casi al mismo tiempo Robert Ammann creó un conjunto de teselas aperiódicas que produjeron una simetría de ocho pliegues. Estos dos ejemplos de cuasicristales matemáticos han mostrado estar derivados de un método más general que los trata como proyecciones de un entramado de mayor dimensión. Así como las curvas simples en el plano pueden ser obtenidas como secciones de un doble cono tridimensional, varias disposiciones (periódicas o aperiódicas) en 2 y 3 dimensiones pueden ser obtenidas a partir de hiper-entramados postulados con 4 o más dimensiones. Los cuasicristales icosaédricos en 3 dimensiones como los encontrados por Dan Shechtman fueron proyectados a partir de un entramado hipercúbico de 6 dimensiones por Peter Kramer y Roberto Neri en 1984. La teselación está formada por dos teselas con forma romboédrica.
La historia de los cuasicristales comienza con el artículo de 1984 "Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry" (Fase metálica con orden orientacional de largo alcance y sin simetría traslacional) donde Dan Shechtman et al. demostraron un claro patrón de difracción con una simetría de cinco pliegues. El patrón fue tomado de una aleación Al-Mn que fue enfriada rápidamente después de fundirse. Al año siguiente, Ishimasa et al. reportaron una simetría de doce pliegues en partículas de Ni-Cr. Pronto fueron grabados patrones de difracción de ocho pliegues en aleaciones de V-Ni-Si y Cr-Ni-Si. A lo largo de los años han sido descubiertos cientos de cuasicristales con varias composiciones y diferentes simetrías. Los primeros materiales cuasicristalinos eran termodinámicamente inestables; cuando eran calentados, formaban cristales regulares. Sin embargo en 1987 fue descubierto el primero de muchos cuasicristales estables, haciendo posible producir grandes muestras para su estudio y abriendo la puerta hacia potenciales aplicaciones. En 2009 un hallazgo minerológico ofreció evidencia de que los cuasicristales podrían formarse de manera natural bajo las condiciones geológicas adecuadas. Los científicos reportaron la primera ocurrencia natural de cuasicristales en un nuevo tipo de mineral encontrado en el río Khatyrka en Rusia oriental. Se encontró que una muestra del holotipo del espécimen ruso era un aglomerado de granos superiores a 0.1 milímetros en tamaño de varias fases, mayormente khatyrkita, cupalita (conteniendo cinc o hierro), algunos minerales de Al-Cu-Fe todavía no identificados y la fase cuasicristalina conocida como icosaedrita (. Los granos de cuasicristal eran de alta calidad cristalina iguales a los de los mejores especímenes de laboratorio.
En 1972, de Wolf y van Aalstde Wolf, R.M. and van Aalst, W. The four dimensional group of γ-Na2CO3, Acta. Cryst. A 28 (1972) S111 reportaron que el patrón de difracción producido por un cristal de carbonato de sodio no pudo ser etiquetado con tres índices sino que necesitó uno adicional, lo que implicó que la estructura subyacente tenía cuatro dimensiones en el espacio recíproco. Otros casos desconcertantes habían sido reportados, pero hasta que el concepto de cuasicristal llegó a ser establecido fueron justificados o negados. Sin embargo, a finales de la década de 1980, la idea se volvió aceptable y en 1992 la Unión Internacional de Cristalografía alteró su definición de cristal, ampliándolo como resultado de los hallazgos de Shechtman, y reduciéndolo a la habilidad de producir un patrón de difracción claro y reconociendo la posibilidad de que el ordenamiento sea periódico o aperiódico.El concepto de "cristal aperiódico" fue acuñado por Erwin Schrödinger en otro contexto con un significado algo diferente. En su popular libro What is life? en 1944 Schrödinger buscó explicar cómo es almacenada la información hereditaria: si las moléculas eran consideradas tan pequeñas, los sólidos amorfos tendrían que ser un tipo de cristal; pero como una estructura periódica no podría codificar información, tendría que ser aperiódica. El ADN fue posteriormente descubierto y, aunque no es cristalino, posee las propiedades predichas por Schrödinger: es una molécula regular pero aperiódica. Ahora las simetrías compatibles con traslaciones son definidas como "cristalográficas", dejando lugar para otras simetrías "no-cristalográficas". Así las estructuras aperiódicas o cuasiperiódicas pueden ser divididas en dos clases principales: aquellas con simetría de grupo puntual cristalográfico, a las que pertenecen las estructuras inconmesurablemente moduladas y las estructuras compuestas, y aquellas con simetría de grupo puntual no-cristalográfico, a las cuales pertenecen las estructuras cuasicristalinas.
El término "cuasicristal" fue primeramente usado en la prensa poco después del anuncio del descubrimiento de Shechtman, en un artículo de Steinhardt y Levine. Sin embargo, el adjetivo "cuasicristalino" ha sido vagamente aplicado a cualquier patrón con simetría inusual.
Shechtman ganó el Premio Nobel de Química en 2011 por su trabajo sobre cuasicristales. «Su descubrimiento de los cuasicristales reveló un nuevo principio para el empaquetamiento de átomos y moléculas», dijo Lars Thelander, quien lideró el Comité Nobel de Química de la academia. «Esto llevó a un cambio de paradigma dentro de la química».
Descripción matemática thumb|Patrón de difracción de electrones de un cuasicristal de Zn-Mg-Ho icosaédrico. Hay muchas formas de definir matemáticamente los patrones cuasicristalinos. Una definición, la construcción por el método de "proyección", está basada en el trabajo de Harald Bohr. Bohr mostró que las funciones cuasiperiódicas surgen como restricciones de las funciones periódicas de alta dimensión a una rebanada irracional (una intersección con uno o más hiperplanos), y discutió su espectro puntual de Fourier. Para que el cuasicristal en sí mismo sea aperiódico, esta rebanada debe evitar cualquier plano de red del entramado de mayor dimensión. De Bruijn mostró que las teselaciones de Penrose pueden ser vistas como rebanadas bidimensionales de estructuras hipercúbicas de cinco dimensiones. De manera equivalente, la transformada de Fourier de tal cuasicristal es diferente de cero solo en un denso conjunto de puntos generado por múltiplos enteros de un conjunto finito de vectores base (las proyecciones de los primitivos vectores de red recíproca del entramado de mayor dimensión).J. B. Suck, M. Schreiber, and P. Häussler, Quasicrystals: An Introduction to Structure, Physical Properties, and Applications (Springer: Berlin, 2004)