thumb|300px|El Árbol de Pitágoras.
El árbol de Pitágoras es un plano fractal construido a partir de cuadrados, inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942. Lleva el nombre del matemático griego Pitágoras debido a que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración utilizada tradicionalmente para representar el teorema de Pitágoras. Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja de tamaño 6L × 4L. Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.
Construcción thumb|Animación de un árbol de Pitágoras imperfectamente semejante a sí mismo thumb|El árbol de Pitágoras con un ángulo de 25 grados y coloración suave
construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre este cuadrado se construyen otros dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de ½ de tal manera que las esquinas de los cuadrados coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para las dos cuadrados más pequeños, repitiéndose el proceso indefinidamente. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones en el proceso de construcción.
none|Construcción del árbol de Pitágoras, orden 1 none|Orden 2 none|Orden 3 none|Orden 4 Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3
El límite de esta sucesión de conjuntos existe y es el fractal llamado árbol de Pitágoras.
Área La iteración n en la construcción suma 2n cuadrados de tamaño (½)n para un área total de 1. Así el área del árbol puede parecer que crece sin límite cuando n→∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden de iteración 5, el árbol en realidad tiene un área finita, ya que queda inscrito dentro de una caja de 6 x 4.
Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango de 5 <A < 18, que puede ser precisado con cálculos adicionales. Poco se sabe acerca el valor real de A.
Propiedades
El número total de cuadrados en el paso es . Presenta autosimilitud exacta. Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es 2. Se puede generar mediante el sistema de funciones iteradas no contractivo formado por las siguientes funciones:
Si se elimina la primera función del sistema de funciones iteradas, se tiene un sistema contractivo que genera un fractal parecido a la curva C de Lévy.
Variantes
Si se cambian los ángulos que forman los cuadrados (y, por tanto, sus tamaños), se obtienen otros árboles fractales. Por ejemplo, con ángulos de 60 y 30 grados y 9 iteraciones se tiene el siguiente árbol (en este ejemplo, el conjunto inicial es el borde de un cuadrado):
Orden 4 Orden 10
Para los ángulos y , la razón de contracción de los cuadrados ha de ser y , respectivamente.
Historia El árbol de Pitágoras fue construido por primera vez por el profesor de matemáticas Albert E. Bosman (1891-1961), en Holanda en 1942.
Uso Es posible que el árbol de Pitágoras sería muy útil para antenas fractales con ajustes menores. Esta suposición se basa en la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
Véase también Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff
Referencias
Enlaces externos
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