thumb|right|En perspectiva gráfica, las rectas paralelas en el plano se cortan en un punto de fuga en el horizonte. En matemáticas, el espacio proyectivo es el conjunto P(V) de líneas que pasan a través del origen de un espacio vectorial V. Cuando V=R2 o V=R3 son conocidos como recta proyectiva y plano proyectivo, respectivamente.
La idea de un espacio proyectivo se relaciona con la perspectiva, más precisamente con la forma en la que un ojo o una cámara proyecta una escena 3D sobre una imagen 2D. Todos los puntos que se encuentran sobre una línea de proyección (i.e., un "línea de visión"), intersecando con el punto focal de la cámara, se proyectan en un punto de imagen común. En este caso, el espacio vectorial es R3, con el punto focal de la cámara como origen y el espacio proyectivo corresponde a los puntos de imagen.
Los espacios proyectivos pueden ser estudiados como campos separados en matemáticas, pero también pueden ser usados en varios campos de aplicación, en particular, en geometría. Los objetos geométricos, tales como puntos, rectas, o planos, pueden tener una representación como elementos en espacios proyectivos basados en coordenadas homogéneas. Como resultado, varias relaciones entre esos objetos pueden ser descritas de la manera más simple posible sin coordenadas homogéneas. Más aún, varios enunciados en geometría pueden hacerse más consistentes y sin excepciones. Por ejemplo, en la geometría estándar, para el plano, dos rectas siempre intersecan en un punto excepto cuando éstas son paralelas. En una representación proyectiva de rectas y puntos, sin embargo, ese punto de intersección existe incluso para rectas paralelas, y este puede ser calculado de la misma manera que otros puntos de intersección.
Otros campos matemáticos donde los espacios proyectivos juegan un papel importante son la topología, la teoría de grupos de Lie y los grupos algebraicos, y sus teorías de representación.
Introducción right|thumb|Representación de un plano proyectivo. Como se mostraba arriba, un espacio proyectivo es un objeto geométrico que formaliza enunciados tales como «rectas paralelas que intersecan en el infinito». Concretando, se puede realizar la construcción del plano proyectivo real P2(R) con cierto detalle. Hay tres definiciones equivalentes: El conjunto de todas las rectas en R3 que pasan a través del origen (0, 0, 0). Cada una de esas rectas se encuentran en la esfera de radio uno centrada en el origen exactamente dos veces, digamos, en P = (x, y, z) y en su punto antipodal (-x, -y, -z). P2(R) también puede ser descrito por ser los puntos de la esfera S2, donde cada punto P y su punto antipodal no son distinguibles. Por ejemplo, el punto (1, 0, 0) (rojo en la imagen) es identificado con (-1, 0, 0) (punto rojo claro), etc. Finalmente, con todo, otra definición equivalente es el conjunto de clases de equivalencia de R3\(0, 0, 0), i.e. 3-espacio sin el origen, donde dos puntos P = (x, y, z) y P* = (x*, y*, z*) son equivalentes sii hay un número real distinto de cero λ tal que P = λ·P*, i.e. x = λx*, y = λy*, z = λz*. La forma usual de escribir un elemento del plano proyectivo, i.e. las clases de equivalencias correspodientes a un punto íntegro (x, y, z) en R3, es: [x : y : z].
La última fórmula se conoce con el nombre de coordenadas homogéneas.
Nótese que cualquier punto [x : y : z] con z ≠ 0 es equivalente a [x/z : y/z : 1]. Así que hay dos subconjuntos disjuntos del plano proyectivo: los que consisten en los puntos [x : y : z] = [x/z : y/z : 1] para z ≠ 0, y los que consisten en los puntos restantes [x : y : 0]. El último conjunto puede subdividirse de manera similar en dos subconjuntos disjuntos, con puntos [x/y : 1 : 0] y [x : 0 : 0]. En el último caso, x es necesariamente distinto de cero, porque el origen no forma parte de P2(R). Por lo tanto el punto es equivalente a [1 : 0 : 0]. Geométricamente, el primer subconjunto, que es isomorfo (no sólo como conjunto, sino también como variedad, como se verá después) a R2, es en la imagen el hemisferio superior amarillo (sin el ecuador), o equivalentemente el hemisferio inferior. El segundo subconjunto, isomorfo a R1, corresponde a la línea verde (sin los dos puntos marcados), o, de nuevo, equivalente a la línea verde claro. Finalmente se tiene el punto rojo o el equivalente punto rojo claro. Se tiene así una descomposición disjunta P2(R) = R2 ⊔ R1 ⊔ punto. Intuitivamente, y se precisa a continuación, R1 ⊔ punto es en sí misma la recta proyectiva real P1(R). Considerado como el subconjunto P2(R), ésta es llamada recta en el infinito, donde R2 ⊂ P2(R) es llamado plano afín, i.e. sólo el plano usual.
Definición de espacio proyectivo El espacio proyectivo real, Pn (R), se define por Pn(R) := (Rn+1 \ {0}) / ~, con la relación de equivalencia (x0, ..., xn) ~ (λx0, ..., λxn), donde λ es un número real arbitrario distinto de cero. Equivalentemente, es el conjunto de todas las rectas en Rn+1 que pasan a través del origen 0 := (0, ..., 0).
En lugar de R, se puede tomar cualquier cuerpo, o incluso un anillo de división, k. Tomando los números complejos o los cuaterniones, se obtiene el espacio proyectivo complejo Pn(C) y espacio proyectivo cuaterniónico Pn(H).
Si n es uno o dos, se puede llamar también recta proyectiva o plano proyectivo, respectivamente. El plano proyectivo complejo es también llamado esfera de Riemann.
Como en el caso especial de arriba, la notación (también llamada coordenadas homogéneas) para un punto en el espacio proyectivo es [x0 : ... : xn].
De manera más general, para un espacio vectorial V (sobre algún cuerpo k, o incluso más generalmente un módulo V sobre algún anillo de división), P(V) se define como (V \ {0}) / ~, donde dos vectores distintos de cero v1, v2 en V son equivalentes si difieren por medio de un escalar λ distinto de cero, i.e., v1 = λv2. El espacio vectorial no necesita ser de dimensión finita; Así, por ejemplo, existen los espacios de Hilbert proyectivos.
Espacio proyectivo como variedad
thumb|200px|right|Estructura de la variedad de la recta proyectiva real. La definición anterior de espacio proyectivo proporciona un conjunto. A efectos de geometría diferencial, que trata con variedades, es útil dotar a este conjunto con una estructura de variedad (real or compleja).
Es decir, considérese los siguientes subconjuntos: . Por la definición de espacio proyectivo, su unión es el espacio proyectivo completo. Además, Ui está en biyección con Rn (o Cn) mediante las siguientes aplicaciones:
(el sombrero en la componente significa que falta la i-ésima componente).
La imagen del ejemplo muestra que P1(R). (aunque los puntos antípoda están identificados en P1(R)). Están cubiertos por dos copias de la recta real R, cada una de las cuales cubre la recta proyectiva excepto un punto, que es «el» (o un) punto en el infinito.
Primero, se define una topología en un espacio proyectivo mediante declaración de que esos mapas podrán ser homeomorfismos, esto es, un subconjunto de Ui es abierto si y sólo si su imagen bajo el isomorfismo anterior es un subconjunto abierto (en el sentido normal) de Rn. Un subconjunto arbitrario A de Pn(R) es abierto si todas las intersecciones A ∩ Ui son abiertas. Esto define un espacio topológico.
La estructura de la variedad también viene dada por esos mapas anteriores.
thumb|200px|right|Visualización diferente de la recta proyectiva. Otra forma de pensar sobre la recta proyectiva es la siguiente: tómense dos copias de una recta afín con coordenadas x e y, respectivamente, y péguense todas juntas a lo largo de los subconjuntos x ≠ 0 e y ≠ 0 mediante los mapeados
La variedad resultante es la recta proyectiva. Los diagramas dados por esta construcción son los mismos que los anteriores. Presentaciones similares existen para espacios proyectivos de mayores dimensiones.
La descomposición anterior en conjuntos disjuntos se lee en general como: Pn(R) = Rn ⊔ Rn-1 ⊔ ⊔ R1 ⊔ R0, esto, a veces llamado descomposición en células, puede ser usado para calcular la cohomología singular de un espacio proyectivo.
Todo lo anterior se cumple para el plano proyectivo complejo también. La recta proyectiva compleja P1(C) es un ejemplo de superficie de Riemann.
Espacios proyectivos en geometría algebraica
La cobertura de los anteriores subconjuntos abiertos también muestra que el espacio proyectivo es una variedad algebraica (o esquema), está cubierta por n + 1 n-espacios afines. La construcción de un esquema proyectivo es un ejemplo de la construcción Proy.
Espacios proyectivos en topología algebraica
El n-espacio real proyectivo tiene Real projective n-space tiene una estructura CW-complejo bastante sencilla. Es decir, cada espacio n-dimensional real proyectivo tiene una única célula n-dimensional.
Espacio proyectivo y espacio afín thumb|right|Ejemplo del teorema de Bézout Existen algunas ventajas del espacio proyectivo respecto del espacio afín ( Pn(R) vs. An(R)). Por esas razones es importante conocer cuando una variedad dada es proyectiva, por ejemplo, se incrusta en (es un subconjunto cerrado) el espacio proyectivo. Los fibrados de línea (muy) amplios están diseñados para dar respuesta a esta pregunta.
Nótese que el espacio proyectivo puede ser formado mediante la proyectivización de un espacio vectorial, como líneas que pasan a través del origen, pero no puede ser formado de un espacio afín sin escoger un punto base. Es decir, los espacios afines son subespacios abiertos de los espacios proyectivos, los cuales son cocientes de los espacios vectoriales.
El espacio proyectivo es un espacio topológico compacto, el espacio afín no lo es. Por lo tanto, el teorema de Liouville se puede aplicar para mostrar que cada función holomorfa sobre Pn(C) es constante. Otra consecuencia es, por ejemplo, que las funciones integrables o formas diferenciables sobre Pn no causan problemas de convergencia.</li>
Sobre una variedad proyectiva compleja X, grupos cohomológicos de haces coherentes son finitamente generados. (El ejemplo anterior es H0(Pn(C), O), la cero-ésima cohomología del haz de funciones holomorfas O). En el lenguaje de la geometría algebraica, el espacio proyectivo es propio. Los anteriores resultados se cumplen en este contexto, también.
Para el espacio proyectivo complejo, cada subvariedad compleja X ⊂ Pn(C) (i.e., una variedad cortada por ecuaciones holomorfas) es necesariamente una variedad algebraica (i.e., dada por ecuaciones polinómicas). este es el teorema de Chow, que permite el uso directo de métodos algebraicos-geométricos para esos objetos analíticamente definidos a propósito.
Como se ha señalado arriba, las líneas en P2 o más generalmente los hiperplanos en Pn deben intersecar siempre. Esto es extensible a los objetos no lineales, como tal: definiendo adecuadamente el grado de una curva algebraica, que es aproximadamente el grado de los polinomios necesarios para definir la curva (véase polinomio de Hilbert), es verdad (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k) que dos curvas proyectivas cualesquiera C1, C2 ⊂ Pn(k) de grado e y f intersecan en exactamente ef puntos, conteniéndolos con sus multiplicidades (véase teorema de Bézout). Esto se aplica, por ejemplo, en la definición de una estructura de grupo sobre los puntos de una curva elíptica, como puede ser y2 = x3−x+1. el grado de la curva elíptica es 3. Considérese la línea x = 1, que interseca con la curva (en el interior del espacio afín) exactamente el doble, es decir, en (1, 1) y (1, −1). Sin embargo, en el interior de P2, la clausura proyectiva de la curva viene dada por la ecuación homogénea y2·z = x3−x·z2+z3, que interseca con la línea (dada en el interior de P2 por x = z) en tres puntos: [1: 1: 1], [1: −1: 1] (correspondientes a los dos puntos mencionados antes), y a [0: 1: 0].