En teoría de conjuntos y teoría del orden, un subconjunto de un conjunto ordenado es cofinal en si no tiene cota superior en .
En teoría de conjuntos se utiliza este concepto para definir la noción de cofinalidad, que permite clasificar los distintos cardinales infinitos.
Cofinalidad de ordinales La definición de conjunto cofinal es:
Por otro lado, la noción de «cofinal» referida a ordinales es:
De este modo, es cofinal en si puede «escalarse» el ordinal en «saltos» arbitrariamente grandes, superando cualquier ordinal menor que . Se define entonces la cofinalidad de un ordinal como:
Es decir, es el número mínimo de «saltos» necesarios para «escalar» .
La cofinalidad de un ordinal sólo tiene interés para ordinales límite, ya que dado cualquier ordinal sucesor } se tiene que . En efecto, el rango de la función dada por es cofinal en .
Puede demostrarse que se requieren infinitos «saltos» para escalar un ordinal límite, y que no cualquier ordinal puede ser la cofinalidad de otro:
Ejemplos. (Se puede utilizar la notación de números alef para hablar de cofinalidades, identificando con el correspondiente ordinal .) Ningún número natural es cofinal en , porque el rango de cualquier función tiene un máximo, , y por tanto una cota superior estricta, . Así, . Si se asume el axioma de elección (o incluso una versión más débil), la cofinalidad del primer ordinal no numerable no es ningún ordinal numerable . Esto se debe a que entonces, la unión numerable de conjuntos numerables es a su vez numerable, y ninguna función es cofinal: la unión de los ordinales en su imagen, todos ellos numerables por la definición de , es un ordinal numerable , y es menor que y una cota estricta para el rango de . Por tanto, ha de ser . El cardinal es la unión numerable de los cardinales . Puesto que esa serie numerable no tiene cota en , se tiene que .
Ordinal regular
Un ordinal es regular si coincide con su confinalidad, . Un ordinal regular es de hecho un cardinal.
Referencias .
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