thumb|225px|Las posibles manipulaciones del Cubo de Rubik forman un grupo. En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades asociativa, de existencia del elemento neutro (también llamado identidad), y de existencia de elementos inversos (en ocasiones llamados simétricos).Lenguaje matemático, conjuntos y números (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);ISBN 978-84-92948-30-7; pág.125 y ss.

La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.

Definición y motivación del concepto

Primer ejemplo: el grupo aditivo de los enteros

Uno de los grupos mejor conocidos es el de la suma de los números enteros, denotados por . El conjunto de los enteros está formado por los números naturales, sus negativos y el cero. Contiene por tanto a todos los números reales que no tienen parte decimal. Comúnmente se describe como

Las propiedades de esta operación aritmética ayudarán a ilustrar el concepto de grupo: La suma de dos números enteros es a su vez un número entero: si ninguno de los números tiene parte decimal, su suma tampoco la tiene. A esta propiedad se la denomina clausura algebraica, y se dice que el conjunto de los enteros es cerrado bajo la suma. Se puede prescindir de los paréntesis para indicar la precedencia de las operaciones: aunque la suma se define para cada dos números, no hay ambigüedad en la expresión , porque el resultado de las operaciones es el mismo que el de . Por tanto, la suma de números enteros verifica la propiedad asociativa. Existe un número especial y único, el cero, que sumado a cualquier otro no altera su valor: , sea cual sea . Este es el elemento neutro. Para cada entero , su opuesto es a su vez entero y tal que

Estas cuatro propiedades también se verifican para una gran variedad de operaciones, no necesariamente numéricas, lo cual da pie a definir un concepto abstracto —el de grupo— en el que se engloben todas ellas. Esa definición, basada en axiomas, permite desarrollar una teoría abstracta —la teoría de grupos—, cuyos resultados son aplicables a todos los grupos independientemente de su formalización concreta, pues los resultados se derivan únicamente de la estructura algebraica común a todos ellos.

En el caso de la suma de enteros, el orden de los sumandos no es importante, ya que para cualesquiera y , se cumple que Esta es la propiedad conmutativa, que sin embargo no se asume como cierta en general para todos los grupos, por lo que en teoría de grupos se presta especial atención al orden de los operandos.

Definición axiomática

Sean un conjunto no vacío, y una operación binaria definida en . Se dice que el par es un grupo si se cumplen las siguientes condiciones (llamadas axiomas de grupo): La operación binaria es una operación interna, es decir, toma dos elementos del conjunto para obtener un tercero también en . En consecuencia, es una función . La operación verifica la propiedad asociativa: dados tres elementos cualesquiera de , se cumple que contiene un elemento distinguido llamado elemento neutro o identidad,Lenguaje matemático, conjuntos y números (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);ISBN 978-84-92948-30-7; pág.126 denotado usualmente como , con la siguiente propiedad: para cualquier Todo elemento tiene un elemento simétrico o inverso en el mismo , que se denota por , con la propiedad de que

A veces, para simplificar el discurso se dice es un grupo cuando deseamos indicar que es un grupo.

Un grupo se denomina abeliano (o conmutativo) si además se satisface la propiedad conmutativa

la cual, sin embargo, no es un requisito imprescindible: existen grupos no abelianos.

Estructuras algebraicas asociadas

En álgebra abstracta se estudian estructuras algebraicas alternativas del tipo , siendo un conjunto no nulo y una operación binaria interna, que puede ser total (definida para todo par de elementos) o no. La mayoría de ellas se definen por los axiomas de grupo que verifican.

La más básica de todas es el magma: un par es un magma si la operación binaria es total, y por tanto satisface el primer axioma de grupo. Un magma cuya operación sea asociativa se denomina semigrupo. En consecuencia, un semigrupo satisface los dos primeros axiomas de grupo. Si verifica también el tercero (existencia del neutro) entonces es un monoide. Las definiciones anteriores no son excluyentes: un grupo satisface todos los axiomas, y por tanto, todo grupo es un magma, un semigrupo y un monoide.

Nótese que para poder hablar de elementos inversos es preciso que exista el elemento identidad. No obstante, en ausencia de un elemento neutro se puede definir el concepto de división: dados a y b se dice que b es divisible por a si existen elementos x e y, únicos tales que . En tal caso se define la división por la izquierda como y la división por la derecha como . Un magma con división (entre cualquier pareja de elementos) se denomina cuasigrupo. Si además tiene un elemento identidad, se convierte en un bucle. Un bucle asociativo es, por tanto, un grupo.

En el caso de que la operación no sea total, la estructura más sencilla es el semigrupoide, que solo cumple la asociatividad. Si además tiene identidad, se convierte en una categoría pequeña. Finalmente, una categoría pequeña con divisibilidad se denomina grupoide. Este tipo de estructuras se estudian en el ámbito de la teoría de categorías.

Reseña histórica y situación actual de la investigación sobre teoría de grupos

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones algebraicas en una incógnita, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870.

La definición de grupo usando: la asociatividad, la existencia de elemento neutro, de elemento inverso y la noción de operación binaria, fue formulada por F. G. Frobenius, por primera vez en 1887, advirtiendo que los teoremas que los demostraba dependían únicamente de los axiomas propuestos y sin tener que acudir al aparato de los grupos de permutaciones, que empleaban sus antecesores Cauchy, Jordan y Sylow.Introducción a la Teoría de Grupos (2009) Zaldívar, Felipe ISBN 978-968-36-3591-4 y otros; pág. 17

Los grupos conmutativos son los que, además verifican la propiedad conmutativa, son habitualmente denominados como grupos abelianos en honor al matemático danés Niels Henrik Abel que en su importantísima aportación, demostró la irresolución de la quíntica mediante radicales en 1846 a partir de Ruffini en lo que se denomina teorema de Abel-Ruffini y debido al uso reiterado de grupos conmutativos en sus investigaciones. Posteriormente Évariste Galois probó con sus nuevas teorías que la irresolución del grupo implicaría la demostración fehaciente de lo que Abel descubrió sobre la irresolubilidad de la ecuación de quinto grado mediante el uso de radicales.

Debido a que los primeros grupos estudiados en la historia fueron los multiplicativos, su nomenclatura y notación se llegó a utilizar de forma extendida en la generalización de las definiciones axiomáticas y abstractas en teoría de grupos; aunque es necesariamente recomendable, utilizar la notación y nomenclatura propias del álgebra abstracta.

La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en sí. Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en subsistemas más pequeños, más comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica fue desarrollada para grupos finitos y culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983. Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como objetos geométricos, se ha convertido en un área particularmente activa en la amplia teoría de grupos.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en física como en matemática radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por Élie Cartan, es un punto culminante de la matemática europea, solo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que esta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer a priori los grupos de automorfismos de cualquier teoría geométrica. Además, de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica.

Algo parecido sucede en física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las partículas elementales de dicho sistema. La clasificación de grupos de Lie proporciona la lista de los posibles grupos existentes de simetrías infinitesimales, válidos para eventuales y futuros modelos científicos.

La teoría de grupos y el estudio de simetrías: campo de aplicaciones La teoría de grupos comparte un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan invariante el objeto y la operación de combinar dos de estas transformaciones. Tales grupos de simetría y en especialmente los grupos de Lie diferenciables, tienen un papel importante en topología y otras ramas de la matemática como los grupos matriciales y operadores. En física son utilizados para entender las leyes físicas fundamentales en las que se basa la relatividad, también se utilizan en campos de la física muy diversos como la física de partículas, teoría de campos, física cuántica e incluso los nuevos campos de la física actual como las teorías unificadoras (teoría M y teoría de cuerdas) entre otras muchas aplicaciones. En química los estudios relacionados con la teoría de enlace, simetría molecular, simetría atómica e incluso radiactividad. En geología y más concretamente en cristalografía.

Segundo ejemplo: un grupo de simetría

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se expresa como . Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

140px id (se mantiene tal y como está) 140px r1 (rotación de 90° a la derecha) 140px r2 (rotación de 180° a la derecha) 140px r3 (rotación de 270° a la derecha) 140px fv (vuelta vertical) 140px fh (vuelta horizontal) 140px fd (vuelta diagonal) 140px fc (vuelta contra diagonal) Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (). Los vértices se pintan y se numeran al objeto de poder visualizar las operaciones.

La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa como Rotaciones del cuadrado de 90°, 180° y 270° a la derecha, expresadas con r1, r2 y r3, respectivamente.