right|thumb|300px|Función xi de Riemann en el plano complejo. El color de un punto codifica el valor de la función. Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.
En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.
Definición
La función xi (minúscula) de Riemann está definida como:
La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para la función xi es
La función Xi (mayúscula) está definida como
y también obedece a la misma ecuación funcional.
Valores
La fórmula general para enteros pares es
Por ejemplo:
Representación en forma de serie La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:
Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener para todo número positivo n.
Hipótesis de Riemann
Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador
con así,
,
cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.
Referencias
Categoría:Funciones Zeta y L Riemann Categoría:Bernhard Riemann