En matemática, la hipótesis de Lindelöf es una conjetura formulada por el matemático finés Ernst Leonard Lindelöf (véase ) sobre la tasa de crecimiento de la función zeta de Riemann en la línea crítica y que está implicada por la hipótesis de Riemann.

Esta postula que, para cualquier ε > 0,

cuando t tiende a infinito (véase notación de Landau). Puesto que ε puede ser reemplazado por un valor menor, esta conjetura también puede postularse como:

Para cualquier número real positivo ε,

La función μ Si σ es real, entonces μ(σ) se define como el ínfimo de todos los números reales a tales que ζ(σ + iT) = O(T a). Es trivial el observar que μ(σ) = 0 para σ > 1, y la ecuación funcional de la función zeta implica que μ(1 − σ) = μ(σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmen–Lindelöf implica también que μ es convexa. La hipótesis de Lindelöf asegura que μ(1/2) = 0, lo que junto con las propiedades citadas antes de μ implican que μ(σ) es 0 para σ ≥ 1/2 y 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.

El resultado de convexidad de Lindelöf junto con μ(1) = 0 y μ(0) = 1/2 implican que 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. El límite superior de 1/4 fue rebajado por Hardy y Littlewood a 1/6 mediante la aplicación del método de Weyl de estimación de sumas exponenciales para la ecuación funcional aproximada de la función zeta. Desde entonces, este límite ha sido rebajado significativamente a una cantidad menor que 1/6 por varios autores, usando largas y complejas demostraciones, como indica la siguiente tabla: μ(1/2) ≤ μ(1/2) ≤ Autor 1/4 0.25 Límite de convexidad 1/6 0.1667 163/9880.165027/1640.1647229/13920.1645120.16451119/1160.163815/92.16316/37.16217173/10670.1621435/2160.16204139/8580.1620132/2050.1561,2005

Relación con la hipótesis de Riemann

mostró que la hipótesis de Lindelöf es equivalente al siguiente enunciado sobre los ceros de la función zeta:

Para cada ε > 0, el número de ceros con parte real al menos 1/2 + ε y la parte imaginaria T y T + 1 es o(log(T)) cuando T tiende a infinito. La hipótesis de Riemann implica que no hay ningún cero en esa región, así pues implica a la hipótesis de Lindelöf. Se sabe que el número de ceros con parte imaginaria T y T + 1 es O(log(T)), así que la hipótesis de Lindelöf parece sólo un poco más fuerte que lo que ya ha sido demostrado, pero a pesar de ello, sigue resistiendo a todos los intentos de demostración, siendo éstos ya muy complicados.

Media de las potencias de la función zeta

La hipótesis de Lindelöf es equivalente a la afirmación de que

para todos los enteros positivos k y para todos los números reales positivos ε. Esta afirmación ha sido demostrada para k = 1 o 2, pero el caso k = 3 parece ser más complejo y todavía se encuentra como un problema abierto.

Hay una más precisa conjetura acerca del comportamiento asintótico de esta integral: Se cree que

para algunas constantes ck,j. Esto fue demostrado por John Edensor Littlewood para k = 1 y por para k = 2 (extendiendo un resultado de el cual encontró el término principal).

sugirió el valor para el coeficiente principal cuando k es 6, y usaron teoría de matrices aleatorias para sugerir algunas conjeturas sobre los valores de los coeficientes para valores de k mayores. Los coeficientes principales ha sido conjeturados para ser el producto de un factor elemental, un cierto producto sobre números primos, y el número de n por n en tabla de Young dado por la siguiente secuencia: 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, .

Otras consecuencias Denotando como pn el n-ésimo número primo, un resultado dado por Albert Ingham, muestra que la hipótesis de Lindelöf implica que, para cualquier ε > 0,

si n es lo suficientemente grande. Sin embargo, este resultado es mucho peor que la amplia conjetura del espacio entre primos consecutivos.

Referencias

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