miniaturadeimagen|Imagen que representa la silueta de Francia en una cuadrícula. miniaturadeimagen|Transformación de la figura de arriba por una homografía. En geometría proyectiva, una homografía es un isomorfismo de espacios proyectivos inducido por un isomorfismo de los espacios vectoriales a partir de los que se construyen los espacios proyectivos.Se puede demostrar que toda homografía es una biyección que envía rectas a rectas, es decir, es lo que se suele denominar una colineación. En general, sin embargo, hay colineaciones que no son homografías, pero el teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma que en espacios proyectivos reales de dimensión mayor o igual que dos toda colinación sí que resulta ser una homografía. Otros términos para referirse al mismo concepto de homografía son proyectividad, transformación proyectiva y colineación proyectiva.
Históricamente, las homografías (y, de hecho, los espacios proyectivos) fueron introducidas para estudiar la perspectiva y las proyecciones en la geometría euclídea, y el término homografía, que etimológicamente significa "dibujo parecido", se introdujo ya desde estos primeros momentos. A finales del siglo se introdujeron las primeras definiciones formales de los espacios proyectivos, que extendían los espacios euclídeos y afines mediante la adición de puntos del infinito. El término transformación proyectiva tiene su origen en estas construcciones abstractas. Los espacios proyectivos se pueden definir de dos formas distintas que resultan ser equivalentes. Una primera forma (la geometría proyectiva analítica) construye los espacios proyectivos como el conjunto de rectas de un espacio vectorial sobre un cierto cuerpo. En esta versión se suelen usar los términos proyectividad o transformación proyectiva. Esta construcción facilita el uso de coordenadas proyectivas y permite el uso de las herramientas del álgebra lineal para estudiar la geometría proyectiva en general y las homografías en particular. El enfoque alternativo (la geometría proyectiva sintética) consiste en definir los espacios proyectivos a partir de una serie de axiomas que no involucran explícitamente ningún cuerpo ni espacio vectorial. En este contexto, las colineaciones (transformaciones que mandan rectas a rectas) son más sencillas de definir que las homografías, que quedan como un caso particular de colineación, y de aquí el nombre colineación proyectiva.
Por simplicidad, a no ser que se indique lo contrario, los espacios proyectivos considerados en este artículo se suponen definidos sobre un cuerpo (conmutativo). Equivalentemente, en geometría sintética, suponemos ciertos el teorema del hexágono de Pappus y el teorema de Desargues. Gran parte de los resultados siguen siendo ciertos con otras hipótesis, o pueden ser generalizados.
Motivación geométrica miniaturadeimagen|Perspectividad del plano horizontal (Q) al plano gris (P) desde O. En P se obtiene en rojo cómo ve O el cuadrilátero rojo contenido en Q. Históricamente, el concepto de homografía fue introducido para entender, explicar y estudiar la perspectiva y, específicamente, la diferente apariencia de un objeto plano visto desde distintos puntos de vista.
En el espacio euclídeo tridimensional, una proyección central desde un punto O (el centro de la proyección) en un plano P que no contiene el punto O es la transformación que manda cada punto A a la intersección (si existe) de la recta OA con el plano P. Esta proyección no está definida si el punto A pertenece al plano paralelo a P que pasa por O. La noción de espacio proyectivo se introdujo originalmente extendiendo el plano euclídeo añadiéndole puntos del infinito, y esto nos permite definir la proyección de cualquier punto excepto la de O; la de un punto A en el plano paralelo a P que pasa por O sería el punto del infinito de P en la dirección de la recta OA. Esta proyección se puede entender intuitivamente de la forma siguiente: O puede representar el ojo de una persona (o su punto de vista), el espacio euclídeo es la realidad que lo rodea, y el plano P es el plano adonde mira; la proyección del espacio en el plano es la representación de la realidad que ve O al mirar hacia el plano P.
Dado otro plano Q que no contenga el punto O, podemos proyectar los puntos de Q en P desde O como antes. Obtenemos entonces en P cómo ve O los puntos de Q. La proyección restringida a Q recibe entonces el nombre de perspectividad.
Esta misma noción se puede generalizar a espacios proyectivos de cualquier dimensión, sobre cualquier cuerpo, de la manera ssiguiente:Dados dos espacios proyectivos P y Q de una misma dimensión n, una perspectividad es una biyección de Q a P que se puede obtener considerando P y Q inmersos en un espacio proyectivo R de dimendión n+1 y restringiendo a Q una proyección central a P desde un punto O fuera de P y Q.Originalmente, una homografía se definía como la composición de un número finito de proyectividades.Es parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva que esta definición coincide con la más algebraica expuesta a continuación.
Definición analítica Un espacio proyectivo de dimensión sobre un cuerpo se puede definir como el conjunto de rectas que pasan por el origen de un espacio vectorial -dimensional sobre el mismo cuerpo . Fijada una base de , cada vector se puede representar por una -tupla de escalares (sus coordenadas): . Cada punto de , al ser de hecho una recta de , queda representado por el vector director de esta, que está definido salvo producto por escalar no nulo. Por tanto, cada punto de queda representado por una -tupla de escalares salvo producto por escalar no nulo . Estas se denominan las coordenadas homogéneas de .
Más en general, un espacio proyectivo de dimensión es una tupla donde es un conjunto (de puntos), es un espacio vectorial de dimensión sobre un cuerpo y es una aplicación sobreyectiva tal que (es decir, los puntos de están en correspondencia con las rectas de , pero no pedimos que sean las rectas necesariamente). Las coordenadas homogéneas dada una base de se definen de forma completamente análoga al caso anterior.
Dados dos espacios proyectivos , de una misma dimensión definidos sobre espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, una homografía entre ellos es una aplicación inducida por un isomorfismo definida como . Escribiremos .
Propiedades (1) Habitualmente, el símbolo se puede entender como "salvo producto por escalar no nulo". Veamos que sigue esta convención, en el sentido de que . (2) La identidad de es la homografía que se corresponde con la identidad de : (3) La definición se comporta bien con la composición, es decir, si y son dos homografías, su composición es una homografía y satisface que . (4) Si es una homografía, es biyectiva y su inversa es la homografía dada por .
De las propiedades 2, 3 y 4 anteriores se deduce que, fijado un espacio proyectivo , el conjunto de sus homografías forma un grupo con la operación de la composición.
(5) Si es una homografía de un espacio proyectivo en sí mismo, un punto es un punto fijo de si y sólo si es un vector propio de .
Homografías y referencias proyectivas Sea un espacio proyectivo de dimensión y sea una referencia proyectiva ( puntos tales que cada de ellos son proyectivamente independientes, esto es, que tienen representantes () linealmente independientes). Lo que nos interesa de la referencia proyectiva es que, como se detalla en ese artículo, nos define unívocamente una base de (llamada "adaptada a la referencia") imponiendo que , donde escribimos .
Fijada una referencia proyectiva, podemos definir las coordenadas homogéneas de cada punto: un punto tiene coordenadas definidas salvo producto por escalar no nulo si y sólo si un representante suyo tiene coordenadas en base . Escribiremos que .
Un resultado importante es que las homografías quedan unívocamente determinadas tras fijar la imagen de una referencia proyectiva. Es decir, si y son referencias proyectivas de y , respectivamente, existe una única homografía tal que , donde representa la tupla . Además, si es la homografía anterior, se tiene que :
Matriz de una homografía A una aplicación lineal, fijadas bases de los espacios de salida y llegada, se le puede asociar una matriz que, al ser multiplicada por las coordenadas de vectores, produce las coordenadas de las imágenes de los mismos vectores por la aplicación lineal. En esta sección queremos hacer algo análogo con las homografías: encontrar una matriz que transforme las coordenadas homogéneas de los puntos en las coordenadas homogéneas de sus imágenes.
Dada una homografía entre dos espacios proyectivos y referencias proyectivas de cada uno con bases adaptadas , podemos definir la matriz homogénea (es decir, definida salvo producto por escalar no nulo) de como , donde es la matriz de en bases . Es sencillo comprobar que la matriz está bien definida respecto de las elecciones de , usando la propiedad 1 anterior y que dos bases adaptadas a una misma referencia proyectiva son necesariamente proporcionales (esto último demostrado en el artículo Referencia proyectiva).
También es sencillo comprobar (se deduce de que transforma las coordenadas de cada en base en las coordenadas de en base ) que si son las coordenadas homogéneas de un punto en referencia , las coordenadas de su imagen en referencia vienen dadas por .
Invariantes por una homografía En esta sección se estudian propiedades de los espacios proyectivos y sus elementos que se conservan tras la aplicación de cualquier homografía.
Alineaciones y variedades lineales proyectivas Una variedad lineal proyectiva de un espacio proyectivo se define como la proyección al espacio proyectivo de un subespacio vectorial de . Esto es, una variedad lineal proyectiva se define como , con un subespacio vectorial. Se denotará como o si la mención de no es necesaria. La dimensión de la variedad lineal proyectiva se define como uno menos que la del subespacio vectorial: . Si la dimensión de es 0, 1, 2 o n-1, diremos que es un punto, una recta, un plano o un hiperplano, respectivamente. Los puntos son, a su vez, variedades proyectivas de dimensión 0 (puntos): , y es un subespacio vectorial de dimensión 1.
Dadas dos variedades lineales proyectivas se pueden definir las operaciones de intersección como conjuntos , que resulta ser una variedad lineal proyectiva, pues , y su suma , que es una variedad lineal proyectiva por definición. La suma de dos variedades lineales proyectivas resulta ser la más pequeña que las contiene a ambas.
El primer resultado de esta sección es que las variedades lineales proyectivas y su dimensión son un invariante para las homografías. Esto es, si es una homografía y es una variedad lineal proyectiva de dimensión , entonces es también una variedad lineal proyectiva de dimensión .
Las homografías se comportan bien respecto a las operaciones definidas entre variedades lineales proyectivas:
En particular, tomando en la propiedad dos puntos distintos como las variedades lineales proyectivas tenemos que , es decir, la imagen de la recta que pasa por los dos puntos es la recta que pasa por las imágenes de los puntos. Esto es lo que en geometría proyectiva se denomina colineación. Por tanto, toda homografía es, en particular, una colineación.
Independencia proyectiva y referencias proyectivas Un conjunto de puntos se denominan proyectivamente independientes si representantes suyos (esto es, ) son linealmente independientes. Es sencillo comprobar, por definición de , que la independencia proyectiva de un conjunto de puntos no depende de los representantes escogidos para cada uno de los puntos. Una referencia proyectiva de un espacio proyectivo de dimensión es un conjunto de puntos tales que cada subconjunto de son proyectivamente independientes.