En teoría de grupos, una rama de las matemáticas, el teorema de Cauchy afirma que si G es un grupo finito y p es un número primo que divide su número de elementos, entonces existe un elemento de G de orden p (es decir, que operado consigo mismo p veces da la identidad y para ningún número menor que p se satisface esto mismo). Es decir, existe un x en G tal que p es el menor número natural mayor que cero que satisface que xp = e, donde e es el elemento neutro de G. El resultado recibe su nombre de Augustin Louis Cauchy, que lo descubrió en 1845.

El teorema es casi el recíproco del teorema de Lagrange, que afirma que el número de elementos de cualquier subgrupo de un grupo finito G divide al cardinal (número de elementos) de G. En particular, el orden de cada elemento de G es el cardinal del subgrupo que genera y, por tanto, debe dividir al cardinal de G. La pregunta natural ahora es si el recíproco es cierto: para cualquier divisor del cardinal de G existe un elemento de ese orden? En general, la respuesta es negativa, pero el teorema de Cauchy afirma que para cualquier divisor primo del cardinal de G sí que hay un elemento de G de ese orden.

Por otro lado, el teorema de Cauchy es un caso particular de los teoremas de Sylow, que afirma que si pn es la mayor potencia de un primo p que divide al cardinal de G, entonces G tiene un subgrupo de pn elementos. Usando que todo p-grupo (un grupo de una potencia de un número primo elementos) es resoluble se puede demostrar que G tiene subgrupos de pr elementos para todo r menor o igual que n. En particular, tiene un subgrupo de p elementos y, como todo grupo de cardinal primo es cíclico, tiene un generador, que será un elemento de orden p, como afirma el teorema de Cauchy.

El matemático francés Augustin Louis Cauchy publicó este famoso teorema de grupos finitos en un artículo titulado «Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque» [Sobre el número de valores iguales o desiguales que puede adquirir una función de n variables independientes, cuando se permuta estas variables entre ellas de una manera cualquiera].

Enunciado y demostración La versión general del resultado se suele demostrar por inducción fuerte sobre el cardinal de G y usando la ecuación de clases, aunque si el grupo es abeliano se pueden hacer demostraciones más elementales.

Demostración Empezamos demostrando el teorema si es abeliano y después deduciremos el caso general por la ecuación de clases. Ambas demostraciones se hacen por inducción fuerte sobre , con caso base .

Si es un número primo, sabemos que es cíclico y tiene entonces un generador, que tendrá orden (de hecho cualquier elemento distinto del neutro tiene orden ). Tenemos pues el caso base de la inducción demostrado en ambos casos.

Supongamos primero que es abeliano y que, por hipótesis, divide a . Sea distinto del elemento neutro (podemos porque al ser divisible por un número primo) y consideremos el grupo cíclico generado por . Distinguimos dos casos. Si divide a , podemos considerar el elemento , que tiene orden , como queríamos. Si no divide a , denotamos por el índice de . Entonces, como y es un número primo que divide a pero no a , debe dividir a , que es el cardinal del grupo cociente (que está bien definido inmediatamente porque es abeliano). Como , tenemos que y entonces, como , resulta que . Por inducción fuerte, tiene un elemento de orden . Este elemento es la clase de cierto elemento de . Si es el orden de en , tenemos que en . Como tiene orden , tenemos que divide a . Y ahora es un elemento de orden , como queríamos.

Veamos ahora el caso general, que resolveremos por inducción fuerte y reduciéndolo al caso abeliano. Sea pues el centro de , que es un grupo abeliano. La ecuación de clases nos dice que

,

donde es un conjunto de representantes de las clases de conjugación de de más de un elemento (es decir, ) y representa el centralizador de .

Distinguimos ahora dos casos. Si divide al cardinal de , como es abeliano, ya hemos visto que tiene un elemento de orden . Como , de hecho hemos encontrado un elemento de de orden . Si por el contrario no divide al cardinal de , entonces, como sí que divide al de , por , tiene que existir un tal que no divide a (si no, despejando , tendríamos que lo tendría que dividir). Ahora, como sí que divide al cardinal de , tiene que dividir a . Por otro lado, como , tenemos que . Por inducción fuerte, tiene un elemento de orden , y hemos encontrado igualmente un elemento de de orden .

Demostración alternativa (por órbitas)

La siguiente demostración, debida a McKay (1959), es más breve y utiliza un conteo de órbitas bajo la acción de un grupo cíclico.

Consideremos el conjunto

formado por todas las -tuplas de elementos de cuyo producto es el elemento neutro . El grupo cíclico de orden actúa sobre mediante la rotación cíclica de coordenadas:

Esta acción está bien definida porque si , entonces también (basta conjugar por ).

Las órbitas de esta acción tienen tamaño 1 o tamaño , ya que es primo. Una órbita tiene tamaño 1 precisamente cuando todos los elementos de la tupla son iguales, es decir, cuando la tupla es de la forma con . La tupla trivial es una de estas órbitas de tamaño 1.

Por otro lado, contamos el cardinal de . Las primeras coordenadas pueden elegirse arbitrariamente en , y la última queda determinada de forma única como . Por tanto,

Como divide a , se tiene que divide a .

Ahora, es unión disjunta de órbitas. Las órbitas de tamaño contribuyen con módulo a , mientras que las de tamaño 1 contribuyen con módulo . Como , el número de órbitas de tamaño 1 debe ser múltiplo de . Ya sabemos que hay al menos una (la trivial), así que debe haber al menos órbitas de tamaño 1. En particular, existe una órbita de tamaño 1 distinta de la trivial, es decir, existe con tal que . Dicho tiene orden , como queríamos demostrar.

Referencias Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, pág.74, Teorema 4.2

Enlaces externos

Véase también Teoremas de Sylow

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