La fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.
Definición
La fracción continua de Ramanujan es
donde:
y
son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.
Aquí, denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.
Formas modulares
Si q = e2πiτ, entonces q−1/60G(q) y q11/60H(q) y también q1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.
Ejemplos
donde es el número áureo (Aproximadamente 1.618)
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
Referencias
Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan,, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp.9–24.
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