La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación Sea una variedad diferenciable y , llamaremos derivación en el punto a

aplicación lineal, es decir:

y tal que , es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación es el conjunto de funciones diferenciables en , y es un álgebra conmutativa, (es un espacio vectorial). es equivalente a , es decir, evaluado en el punto

Ejemplos de derivación La derivada parcial Sea y , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

Demostración Veamos primero que es lineal, es decir, que vemos que:

Veamos finalmente que es una derivación:

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional Sea , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

Derivación en variedades

Sea una variedad diferenciable y , llamaremos espacio tangente a en al espacio vectorial de las derivaciones de en , notado por , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a en

Consecuencias Propiedad de la derivación de una función localmente constante Sea una variedad diferenciable, , y tal que entorno abierto en donde , , entonces tenemos que

Demostración Por linealidad de tenemos

aquí aplicando la condición de derivación a tenemos

de simplificar, este último, resulta aplicadolo al anterior resulta que

Ejemplo Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase : la función meseta asociada a , donde compacto cuyo interior contiene a

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta Sea una variedad diferenciable, , y una función meseta asociada a , tenemos que:

Demostración Aplicando la regla de Leibniz tenemos que , por la propiedad anterior tenemos que

Propiedad Sea una variedad diferenciable, y tal que entorno abierto en donde , entonces tenemos que .

Demostración Sea una función meseta asociada a , tenemos así que en todo también por tanto y por la propiedad anterior tenemos que

Tipos de derivaciones En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas: Derivada de una aplicación entre variedades Derivada exterior Derivada de Lie Derivada covariante Diferencial de una función Derivada parcial Derivada funcional

Referencias

Bibliografía Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.

Categoría:Geometría diferencial