thumb|300px|Sistemas de coordenadas en el espacio bidimensional: curvilíneo (arriba), cartesiano (izquierda), y afín (derecha)
En geometría, las coordenadas curvilíneas son sistemas de referencia utilizados en el espacio euclídeo, en los que las líneas que definen las coordenadas pueden ser curvas. Estas coordenadas se pueden obtener a partir de un conjunto de coordenadas cartesianas mediante el uso de transformaciones que son localmente invertibles (aplicaciones uno a uno) en cada punto. Esto significa que se puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesiano a sus coordenadas curvilíneas y viceversa. El nombre de coordenadas curvilíneas, acuñado por el matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870), deriva del hecho de que las líneas de referencia de estos sistemas son curvas.
Ejemplos bien conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclídeo tridimensional (R3) son las coordenadas cilíndricas y las esféricas. Un ejemplo de superficie definida en coordenadas cartesianas en este espacio es un plano coordenado, de manera que cuando (z = 0), se define el plano (x-y). En el mismo espacio, la superficie de coordenadas (r = 1) en coordenadas esféricas es la superficie de una esfera unitaria, que es una superficie curva. La formalización de los sistemas de coordenadas curvilíneas proporciona una descripción general y unificada de los distintos sistemas de referencia.
Las coordenadas curvilíneas se utilizan a menudo para definir la ubicación o la distribución de cantidades físicas que pueden ser, por ejemplo, escalares, vectores o tensores. Las expresiones matemáticas que involucran estas cantidades en el cálculo vectorial y en el cálculo tensorial (como el gradiente, la divergencia, el rotacional y o el laplaciano) se pueden transformar de un sistema de coordenadas a otro, de acuerdo con las reglas de transformación para escalares, vectores y tensores. Estas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneo.
Un sistema de coordenadas curvilíneo puede ser más sencillo de utilizar que el sistema de coordenadas cartesiano para algunas aplicaciones. El movimiento de partículas bajo la influencia de una fuerza central suele ser más fácil de resolver en coordenadas esféricas que en coordenadas cartesianas, lo que también es cierto para muchos problemas físicos con simetría esférica definidos en R3. Las ecuaciones con condiciones de contorno que siguen superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneo particular pueden ser más fáciles de resolver en ese sistema. Si bien se podría describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular usando coordenadas cartesianas, es más fácil describir el movimiento sobre una esfera con coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas son los sistemas de coordenadas curvilíneas más comunes y se utilizan en ciencias de la Tierra, cartografía, mecánica cuántica, teoría de la relatividad e ingeniería.
Coordenadas curvilíneas ortogonales en tres dimensiones
Coordenadas, bases y vectores thumb|upright=1.35|Fig. 1 - Superficies de coordenadas, líneas de coordenadas y ejes de coordenadas de sistemas de coordenadas curvilíneos generales
Por ahora, se considera el espacio tridimensional. Un punto P en el espacio 3-D (o su posición r) se puede definir usando coordenadas cartesianas (x, y, z) [escrito de manera equivalente (x1, x2, x3)], por , donde ex, ey, ez son los vectores de la base canónica.
También puede definirse por sus coordenadas curvilíneas (q1, q2, q3) si este triplete de números define un único punto de forma inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada por las funciones de transformación reversibles:
Las superficies q1 = constante, q2 = constante, q3 = constante se denominan superficies de coordenadas; y las curvas espaciales formadas por su intersección dos a dos se denominan curvas de coordenadas. Los ejes de coordenadas están determinados por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. En general, no son direcciones fijas en el espacio, como ocurre con las coordenadas cartesianas simples y, por lo tanto, generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.
En el sistema cartesiano, los vectores de una base estándar se pueden deducir de la derivada de la ubicación del punto P con respecto a la coordenada local
Aplicando las mismas derivadas al sistema curvilíneo localmente en el punto P se definen los vectores de la base natural:
Una base de este tipo, cuyos vectores cambian su dirección y/o magnitud de un punto a otro, se denomina base local. Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores de la base que son iguales en todos los puntos son bases globales y solo pueden asociarse con sistemas de coordenadas lineales o afines.
Para este artículo, la notación e está reservada para la base canónica (cartesiana) y h o b se asignan a las bases curvilíneas.
Es posible que no tengan longitud unidad y que tampoco sean ortogonales. En el caso de que sean ortogonales en todos los puntos donde las derivadas están bien definidas, se definen los coeficientes de Lamé (en referencia a Gabriel Lamé) por
y los vectores de una base ortonormal curvilínea por
Estos vectores de la base también pueden depender de la posición de P; y por lo tanto, es necesario que no se suponga que son constantes en una región (técnicamente, forman una base para fibrados tangentes de en P y, por lo tanto, son locales para cada punto P).
En general, las coordenadas curvilíneas permiten que los vectores de la base natural hi no sean todos mutuamente perpendiculares entre sí, y no es necesario que sean de longitud unidad: pueden ser de magnitud y dirección arbitrarias. Pero el uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones vectoriales sean más simples que en el caso de las bases no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y de la ingeniería, particularmente la mecánica de fluidos y la mecánica de medios continuos, requieren bases no ortogonales para describir deformaciones y transporte de fluidos, con el fin de tener en cuenta complejas dependencias direccionales de cantidades físicas. Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.
Cálculo vectorial
Elementos diferenciales
En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial total en r es
entonces los factores de escala son
En coordenadas no ortogonales, la longitud de es la raíz cuadrada positiva de (según el convenio de suma de Einstein). Los seis productos escalares independientes gij=hi.hj de los vectores de la base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para coordenadas ortogonales. Los nueve gij son las componentes del tensor métrico, que tiene solo tres componentes distintas de cero en coordenadas ortogonales: g11=h1h1, g 22=h2h2, g33=h3h3.
Bases covariantes y contravariantes
Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas respecto al tiempo y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas mediante dos grupos de vectores de una base:
Vectores de una base que son localmente tangentes a su línea de coordenadas asociada: son vectores contravariantes (indicados por subíndices), y Vectores de una base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas: son vectores covariantes (indicados por superíndices), donde ∇ es el operador nabla.
Téngase en cuenta que, debido a la convención de la suma de Einstein, la posición de los índices de los vectores es opuesta a la de las coordenadas.
En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneo general tiene dos conjuntos de vectores de base para cada punto: b1, b2, b3 es la base contravariante, y b1, b2, b3 es la base covariante (también conocida como recíproca). Los tipos de vectores de una base covariante y de una base contravariante tienen dirección idéntica para sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero como es habitual, tienen los índices invertidos entre sí.
Téngase en cuenta la siguiente igualdad importante:
donde denota la delta de Kronecker generalizada.
Un vector v se puede especificar en términos de cualquier base, es decir,
Usando la convención de la suma de Einstein, los vectores de la base se relacionan con las componentes mediante
y
donde g es el tensor métrico (véase más abajo).
Un vector se puede especificar con coordenadas covariantes (subíndices, escritos como vk) o coordenadas contravariantes (superíndices, escritos como vk). De las sumas de vectores anteriores, se puede ver que las coordenadas contravariantes están asociadas con los vectores de la base covariante, y las coordenadas covariantes están asociadas con los vectores de la base contravariante.
Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores de una base es la invariancia en el sentido de que los componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) se emparejan con vectores de una base que se transforman de una manera contravariante (o recíprocamente, de manera covariante).
Integración
Generación de una base covariante en una dimensión
thumb|upright=1.35|Fig. 3 – Transformación de base covariante local en el caso de coordenadas curvilíneas generales
Considérese la curva unidimensional que se muestra en la Fig. 3. En el punto P, tomado como origen, x es una de las coordenadas cartesianas y q1 es una de las coordenadas curvilíneas. El vector de la base local (no unitario) es b1 (anotado como h1 anteriormente, con la letra b reservada para los vectores unitarios) y está construido sobre el eje q1 que es tangente a esa línea de coordenadas en el punto P. El eje q1 y, por lo tanto, el vector b1 forman un ángulo con el eje cartesiano x y el vector de la base cartesiana e1.
Se puede ver en el triángulo PAB que
donde |e1|,|b1| son las magnitudes de los dos vectores de cada base, es decir, el escalado determina PB y PA. Además, PA es la proyección de b1 sobre el eje x.
Sin embargo, este método para transformaciones de vectores de la base utilizando cosenos direccionales no es aplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones: Al aumentar la distancia desde P, el ángulo entre la línea curva q1 y el eje cartesiano x se desvía cada vez más de . A la distancia PB, el verdadero ángulo es el que forma la tangente en el punto C con el eje x y este último ángulo es claramente diferente de .
Los ángulos que forman la línea q1 y ese eje con el eje x se vuelven más cercanos en valor cuanto más cerca se está del punto P y se vuelven exactamente iguales en P.
Supóngase que el punto E esté ubicado muy cerca de P, tan cerca que la distancia PE es infinitamente pequeña. Entonces PE medido en el eje q1 casi coincide con PE medido en la línea q1. Al mismo tiempo, la relación PD/PE (siendo PD la proyección de PE sobre el eje x) se vuelve casi exactamente igual a .
Ahora, las intersecciones infinitamente pequeñas PD y PE se denominan respectivamente como dx y dq1. Entonces
.
Por lo tanto, los cosenos directores se pueden sustituir en transformaciones con relaciones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitamente pequeñas. De ello se deduce que la componente (proyección) de b1 sobre el eje x es
.
Si qi= qi(x1, x2, x3) y xi= xi(q 1, q2, q3) son funciones suaves (continuamente diferenciables), las razones de transformación se pueden escribir como y . Es decir, esas relaciones son derivadas parciales de las coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a las coordenadas que pertenecen al otro sistema.
Generación de una base covariante en tres dimensiones
Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras dos dimensiones, b1 se puede expresar como: