El teorema de Euler sobre funciones homogéneas es una caracterización de las funciones homogéneas.
Enunciado Una función se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario :
Si una función es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:
De manera más general, para n variables:
Demostración Escribiendo y
diferenciando la ecuación con respecto a encontramos, aplicando la regla de la cadena, que
Así que:
En concreto, eligiendo , la anterior ecuación puede reescribirse como:
Para una demostración del recíproco, ver .
Supongamos que es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden son funciones homogéneas de grado k-1.
Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo y diferenciado la ecuación
con respecto a , encontramos por la regla de la cadena que:
Y por tanto:
Y finalmente:
Aplicaciones del teorema
Aplicaciones en termodinámica Si la función de estado termodinámica es: Homogénea de grado 1: función de variables extensivas : Homogénea de grado 0: función de variables intensivas :
Bibliografía Curso de Termodinámica José Aguilar Peris Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España
Categoría:Termodinámica Categoría:Principios y leyes físicas