En geometría, la geometría inversiva es el estudio de la inversión, una transformación definida sobre el plano euclídeo que asigna circunferencias o rectas a otras circunferencias o rectas, y que preserva los ángulos entre las líneas que se cruzan. La inversión parece haber sido descubierta por varias personas contemporáneamente, entre las que figuran Steiner (1824); Quetelet (1825); Bellavitis (1836); Stubbs e Ingram (1842-3); y Kelvin (1845).Curves and Their Properties by Robert C. Yates, National Council of Teachers of Mathematics, Inc.,Washington, D.C., p. 127: "Geometrical inversion seems to be due to Jakob Steiner who indicated a knowledge of the subject in 1824. He was closely followed by Adolphe Quetelet (1825) who gave some examples. Apparently independently discovered by Giusto Bellavitis in 1836, by Stubbs and Ingram in 1842-3, and by Lord Kelvin in 1845.)"

Numerosos problemas planteados inicialmente en la geometría euclídea se pueden simplificar notablemente cuando se aplica una inversión, cuyo concepto puede ser generalizado a espacios de dimensiones superiores.

Inversión respecto a una circunferencia

Inverso de un punto

Invertir un número en aritmética generalmente significa calcular su inverso. Una idea estrechamente relacionada en geometría es la de invertir un punto. En el plano, la inversa de un punto P respecto de una circunferencia de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto P, situado sobre el rayo tendido desde O hasta P, tal que

Esta operación se denomina inversión circular o inversión plana. La inversión que lleva cualquier punto P (que no sea O) a su imagen P también lleva a P de regreso a P, por lo que el resultado de aplicar la misma inversión dos veces es la transformación de identidad en todos los puntos del plano distintos de O (por lo que se dice que la inversión en una transformación involutiva). Para hacer de la inversión una involución de todo el plano, es necesario introducir un punto del infinito, un único punto situado en todas las rectas, y extender la inversión por definición para intercambiar el centro O y este punto situado en el infinito.

De la definición se deduce que la inversión de cualquier punto dentro del círculo de referencia debe quedar fuera de él, y viceversa, con el centro y el punto del infinito cambiando de posición, mientras que cualquier punto de la circunferencia (el contorno del círculo) no se ve afectado (es invariante con respecto a la inversión). En resumen, cuanto más cerca está un punto del centro, más se aleja su transformado, y viceversa.

Construcciones con regla y compás

Mediante tangentes Punto P situado fuera del círculo Para construir el inverso P de un punto P situado fuera de un círculo Ø: Dibujar el segmento desde O (centro del círculo Ø) hasta P. Sea M el punto medio de OP (no mostrado). Dibujar el círculo c con centro M pasando por P (sin etiqueta, es el círculo azul). Sean N y N los puntos donde se cruzan Ø y c. Dibujar el segmento NN. P es donde se cruzan OP y NN.

Punto P' situado dentro del círculo Para construir el inverso P de un punto P situado dentro de un círculo Ø: Dibujar el rayo r desde O (centro del círculo Ø) hasta P (no está etiquetado, es la recta horizontal). Dibujar la recta s que pasa por P perpendicular a r (tampoco está etiquetada; es la recta vertical). Sea N uno de los puntos donde se cruzan Ø y s. Dibujar el segmento ON. Dibujar la línea t que pasa por N perpendicular a ON. P es donde se cruzan el rayo r y la recta t.

Construcción de Dutta

Existe una construcción del punto inverso de A con respecto a un círculo P que es independiente de si A está dentro o fuera de P.Dutta, Surajit (2014) A simple property of isosceles triangles with applications, Forum Geometricorum 14: 237–240

Considérese un círculo P con centro O y un punto A que puede estar dentro o fuera del círculo P. Tomar el punto de intersección C del rayo OA con el círculo P. Conectar el punto C con un punto arbitrario B en el círculo P (diferente de C) Sea h el reflejo del rayo BA en la línea BC. Entonces, h corta el rayo OC en un punto A, que es el punto inverso de A con respecto al círculo P.

Propiedades

La inversión de un conjunto de puntos del plano respecto de una circunferencia es el conjunto de los inversos de dichos puntos. Las siguientes propiedades hacen que la inversión de circunferencias pueda ser útil en el análisis de numerosos problemas geométricos. Una circunferencia que pasa por el centro O del círculo de referencia se invierte en una recta que no pasa por O, sino que es paralela a la tangente al círculo original en O, y viceversa; mientras que una recta que pasa por O se invierte sobre sí misma (pero no es invariante punto a punto). Una circunferencia que no pasa por O se invierte en una circunferencia que no pasa por O. Si la circunferencia se encuentra con la circunferencia de referencia, estos puntos de intersección invariantes también están en la circunferencia inversa. Una circunferencia (o recta) no cambia por inversión si y solo si es ortogonal con respecto a la circunferencia de referencia en los puntos de intersección.

Entre otras propiedades adicionales figuran: Si una circunferencia q pasa por dos puntos distintos A y A' que son inversos con respecto a una circunferencia k, entonces las circunferencias k y q son ortogonales. Si las circunferencias k y q son ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro O de k y corta a q, lo hace en puntos inversos con respecto a k. Dado un triángulo OAB en el que O es el centro de una circunferencia k, y los puntos A' y B' son inversos de A y B con respecto a k, entonces

Los puntos de intersección de dos círculos p y q ortogonales a una circunferencia k, son inversos con respecto a k. Si M y M' son puntos inversos con respecto a una circunferencia k sobre dos curvas m y m', también inversas con respecto a k, entonces las tangentes a m y m' en los puntos M y M' son perpendiculares a la recta MM' o forman con esta recta un triángulo isósceles de base MM'. La inversión deja inalterada la medida de los ángulos, pero invierte su orientación.

Ejemplos en dos dimensiones

La inversión de una recta es una circunferencia que contiene el centro de inversión; o es la recta misma si contiene el centro La inversión de una circunferencia es otra circunferencia; o es una recta si la circunferencia original contiene el centro La inversión de una parábola es una cardioide La inversión de una hipérbola es un lemniscata de Bernoulli

Aplicación Para una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, el centro de la circunferencia que se invierte y el centro de su imagen bajo inversión son colineales con el centro de la circunferencia de referencia. Este hecho se puede utilizar para demostrar que la recta de Euler del triángulo con vértices en los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de un triángulo dado, coincide con su recta OI. La demostración es la siguiente:

Invertir con respecto a su circunferencia inscrita el triángulo ABC. El triángulo medial del triángulo de los puntos en contacto con la circunferencia inscrita se invierte en el triángulo ABC, es decir, el circuncentro del triángulo medial, es el centro de nueve puntos del triángulo en contacto con la circunferencia inscrita, y por lo tanto, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC son colineales.

Dos circunferencias cualesquiera que no se crucen se pueden invertir en circunferencias concéntricas. Entonces, la distancia inversiva (normalmente denominada δ) se define como el logaritmo natural de la relación de los radios de las dos circunferencias concéntricas.

Además, dos circunferencias cualesquiera que no se intersecan se pueden invertir en circunferencias congruentes, utilizando una circunferencia de inversión centrada en un punto de la circunferencia de antisemejanza.

El mecanismo de Peaucellier-Lipkin es una aplicación de la inversión respecto a una circunferencia. Proporciona una solución exacta al importante problema de transformar un movimiento lineal en circular y viceversa.

Polo y polar

Si el punto R es el inverso del punto P, entonces la recta perpendicular a la recta PR que pasa por uno de los puntos es la polar del otro punto (el polo).

Los polos y las polares tienen varias propiedades útiles:

Si un punto P se encuentra en una recta l, entonces el polo L de la recta l se encuentra en la recta polar p del punto P. Si un punto P se mueve en una recta l, su polar p gira alrededor del polo L de la recta l. Si se pueden trazar dos rectas tangentes desde un polo a la circunferencia, entonces su polar pasa por ambos puntos tangentes. Si un punto se encuentra en la circunferencia, su polar es la tangente que pasa por este punto. Si un punto P se encuentra en su propia línea polar, entonces P está en la circunferencia. Cada recta tiene exactamente un polo.

En tres dimensiones

La inversión respecto a una circunferencia es generalizable a la inversión en una esfera en tres dimensiones. La inversión de un punto P en 3D respecto a una esfera de referencia centrada en un punto O de radio R es un punto Psobre el rayo con dirección OP tal que . Al igual que con la versión 2D, una esfera se invierte en una esfera, excepto si pasa por el centro O de la esfera de referencia (entonces se invierte en un plano). Cualquier plano que pase por O se invierte formando una esfera que pasa por O. Una circunferencia, es decir, la intersección de una esfera con un plano secante, se invierte en otra circunferencia, excepto que si pasa por O (entonces se invierte en una recta). El caso de la esfera se reduce al caso de dos dimensiones cuando el plano secante pasa por O, pero es una verdadera transformación tridimensional si el plano secante no pasa por O.

Ejemplos en tres dimensiones

Esfera La superficie más simple (además del plano) es la esfera. La primera imagen muestra una inversión no trivial (el centro de la esfera no es el centro de inversión) de una esfera junto con dos haces de circunferencias ortogonales que se cruzan entre sí.

Cilindro, cono, toro La inversión de un cilindro, cono o toro da como resultado un cíclido de Dupin.

Esferoide Un esferoide es una superficie de revolución, y contiene un haz de circunferencias que se asigna a otro haz de circunferencias (véase la ilustración). La imagen inversa de un esferoide es una superficie de grado 4.

Hiperboloide de una hoja Un hiperboloide de una hoja, que es una superficie de revolución, contiene un haz de circunferencias que se asigna a otro haz de circunferencias. Un hiperboloide de una hoja contiene dos haces adicionales de líneas rectas, que se asignan a haces de circunferencias. La imagen muestra una de esas líneas rectas (azul) y su inversión.

Proyección estereográfica como inversión de una esfera

Una proyección estereográfica generalmente proyecta una esfera desde un punto (polo norte) de la esfera hacia el plano tangente en el punto opuesto (polo sur). Esta aplicación se puede realizar mediante una inversión de la esfera en su plano tangente. Si la esfera (a proyectar) tiene la ecuación (escrita alternativamente ; con centro y radio ; en color verde en la imagen), entonces se transformará mediante la inversión en una esfera (roja) sobre el plano tangente en el punto . Las líneas que pasan por el centro de inversión (punto ) se trazan sobre sí mismas. Son las líneas de proyección de la proyección estereográfica.

Coordenadas una 6-esfera Las coordenadas 6-esféricas son un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional obtenido invirtiendo las coordenadas cartesianas.

Axiomática y generalización Uno de los primeros en considerar los fundamentos de la geometría inversiva fue Mario Pieri en 1911 y 1912.M. Pieri (1911,12) "Nuovi principia di geometria della inversion", Giornal di Matematiche di Battaglini 49:49–96 & 50:106–140 Edward Kasner escribió su tesis sobre la "Teoría invariante del grupo de inversión".