miniaturadeimagen|220px|En la imagen de una relación entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados. miniaturadeimagen|220px|Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida» thumb|right|La curva roja es la gráfica de una función, porque cualquier línea vertical tiene exactamente un punto de cruce con la curva. En las matemáticas, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda.

Por ejemplo, el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (a saber, la n es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la magnitud de la que depende (el radio y la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Las funciones son relaciones entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...  −2 → +4,  −1 → +1,  0 → 0,      +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9, ... 

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B  a → f(a),

donde A es el dominio de la función f; su primer conjunto, o conjunto de partida, y B es el codominio de f; su segundo conjunto, o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles y , se denotarían entonces como:

, o sencillamente ;

g: V → A  p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Historia

miniaturadeimagen|180px|Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en el . El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el .Esta sección está basada en René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por el francés Alexis Claude Clairaut, y por el suizo Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Inicialmente, una función se identificaba, a efectos prácticos, con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837, el matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.

Durante el los matemáticos alemanes Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass y Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado. Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos y surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.

Introducción

miniaturadeimagen|275px|Representación gráfica de la posición de un cuerpo acelerado a 0,66 m/s2 Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente y t la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos: Tiempo t (s)Distancia d (m)0,00,00,50,11,00,31,50,72,01,32,52,0 La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse una regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.

Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, . Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente:

Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes

Definición

Una función se define como una asociación entre conjuntos, el dominio y el codominio; de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda un único elemento del codominio:

Un objeto en el dominio se denomina la variable independiente; y un objeto genérico del codominio es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemática se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto a partir de la idea de pares ordenados. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados en el cual el primer elemento de cada par no se repite.

Ejemplos Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio (números reales) le asigna su cubo en el codominio . Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inversa» cuyo dominio son los números reales no nulos , y con codominio . Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real positivo, luego su codominio es .

Definición formal. Generalizaciones

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:

En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de la matemática es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:Sobre la diferencia entre ambas definiciones, véase por ejemplo

Con esta definición, dos funciones con el mismo grafo son distintas si su codominio no coincide.

Funciones parciales

También se habla en ocasiones de funciones parciales, para las que no necesariamente cada elemento del dominio posee una imagen, en contraste con las funciones como se han definido antes, que se denominan totales. A las funciones parciales también se las llama correspondencias o relaciones unívocas.

Función multivaluada

En matemáticas, una función multivaluada entre e es un subconjunto del producto cartesiano de manera que a un elemento de le pueden corresponder uno o más elementos de , en contradicción con la definición de función. Tomamos la definición del término correspondencia de la versión inglesa de este artículo.

Funciones con múltiples variables Una función multivariable, función multivariada o función de varias variables es una función que depende de varios argumentos.

Existen muchos ejemplos de funciones que necesitan dos o más valores para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» , que viene dada por el cociente entre la distancia () y la velocidad media (): cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos o más variables independientes.

La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos o más conjuntos de variables independientes, y , por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas , con primera componente en y segunda componente en . Este conjunto se denomina el producto cartesiano de y , y se denota por .