Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad
El triángulo
1 5 3 11 9 7 19 17 15 13 29 27 25 23 21 41 39 37 35 33 31 55 53 51 49 47 45 43 71 69 67 65 63 61 59 57 89 87 85 83 81 79 77 75 73 109 107 105 103 101 99 97 95 93 91 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
La demostración
Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k². Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k ·k² = k³. La suma S de las primeras n filas consecutivas es . Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m². De esta forma porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.
Propiedades elementales del triángulo de Fibonacci La k-ésima fila tiene k elementos. La suma de los elementos de la k-ésima fila es igual a k³. El menor número entero impar que forma parte de la k-ésima fila es igual a k² - (k - 1). El mayor número entero impar que está en la k-ésima fila es igual a k² + (k - 1).
Identidades deducidas del triángulo
Conocemos la identidad , que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra. También sabemos que .
La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es .
Evidentemente .
La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.
La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata: . Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.
Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.
Notas y referencias
Categoría:Matemática medieval Categoría:Triángulos Categoría:Sucesiones y series de teoría de números Fibonacci, triángulo