Hay dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar. Kenneth R. Richards Lecture 3: First and Second Theorems of Welfare Economics and Market Efficiency José-Víctor Ríos-Rull : Welfare Theorems El primero afirma que cualquier equilibrio competitivo o walrasiano"La definición de equilibrio de mercado que vamos a dar todavía es que todos los mercados se vacían. Sin embargo, al incluir también las elecciones de los individuos como un elemento explícito del equilibrio, podemos hacer frente a situaciones en las que algunas listas de precios dejan algunos individuos indiferentes entre las muchas opciones disponibles, y las situaciones en las que algunas listas de precios dejan ciertos individuos sin una opción óptima en absoluto. Pero más importante, enmarcando las cosas de forma explícita en términos de comportamiento individual nos ayudará a entender una gama más amplia de fenómenos. ( Mark Walker en Walrasian Equilibrium).- más formalmente: "Un par de vectores de la asignación (x, p), donde x son las cantidades de cada bien en poder por cada agente, y p es un vector de precios por cada bien, es un equilibrio walrasiano si (a) es factible, y (b) cada agente esta eligiendo óptimamente, dado el presupuesto del agente. En un equilibrio walrasiano, si un agente prefiere otra combinación de bienes, el agente no se lo puede permitir." (Glossary of economics research: walrasian equilibrium) lleva a una situación de asignación de recursos económicos que es eficiente en el sentido de Pareto. El segundo teorema es contrarecíproco del primero; afirma que cualquier asignación eficiente u óptimo de Pareto se puede obtener mediante un equilibrio competitivo. Carl P. Simon y Lawrence Blume (1994): “El segundo teorema es el inverso del primero. Dice que cada óptimo de pareto puede ser establecido como un equilibrio competitivo.” en Mathematics for Economists p 574 Hal R. Varian: “El segundo teorema de la economia del bienestar establece que en determinadas condiciones todas las asignaciones eficientes en el sentido de Pareto pueden lograrse mediante el mecanismo del equilibrio competitivo.” en Microeconomía intermedia: un enfoque actual p 544 Corolarios del segundo teorema del bienestar. Bernard Guerrien: “El segundo teorema es en cierta manera, el recíproco del primero, porque afirma que a todo óptimo de Pareto se puede asociar un sistema de precios tal que exista a tales precios, un equilibrio competitivo, al menos si los consumidores “prefieren las combinaciones” y si no hay costos fijos ni rendimientos crecientes. Se concluye de este teorema que si un estado realizable no es un equilibrio competitivo, entonces no es óptimo según el criterio de Pareto con la condición de que no haya costos fijos etc.” en LAS PROPIEDADES DEL EQUILIBRIO COMPETITIVO

A pesar de la aparente simetría de ambos teoremas, en realidad el primero es mucho más general que el segundo, requiriendo supuestos más débiles.

Argumentos Lo que sigue no es una demostración formal (véase especialmente "Teoremas dentro de otras ciencias"), sino más bien una exposición que busca, de acuerdo con los principios de la economía naturalista,Robert H. Frank: “The Economic Naturalist”.- Basic Books, U.S.A.- 2007 poner en relevancia los conceptos y relaciones que sustentan las propuestas. Para demostraciones formales, ver cualquiera de los autores indicados más abajo o algún libro de texto de microeconomía. Por ejemplo: Carl P Simon y Lawrence Blume: Carl P. Simon y Lawrence Blume (1994): “El segundo teorema es el inverso del primero. Dice que cada óptimo de pareto puede ser establecido como un equilibrio competitivo.” en Mathematics for Economists (W.W. Norton and Co. New York and London- 1994), pp 573-575; etc) Es preferible entonces, más bien que demostraciones, hablar de argumentos, especialmente en su acepción de "discurso dirigido al entendimiento."

Primer teorema thumb|500px|Ilustración del Primer Teorema en una Caja de Edgeworth. El primer teorema fundamental -conocido también como teorema directoPor ejemplo: Joaquín Almoguera Carreres, Elías Díaz, Silvina Álvarez, Joaquín Almoguera: Estado, Justicia, derechos (Springer Science & Business, 2002)- establece que cualquier situación de equilibrio general walrasiano es Pareto eficiente. Esto fue demostrado originalmente de manera geométrica por Abba Lerner y posteriormente de manera algebraica por Harold Hotelling, Oskar Lange, Maurice Allais, Kenneth Arrow y Gérard Debreu. Formalmente, el teorema puede ser propuesto de la siguiente manera: Si las preferencias locales se satisfacen inicialmente y si la relación entre compras, bienes y precios (x*, y*, p) establece un equilibrio competitivo, entonces (x*, y*) es una distribución óptima en el sentido de Pareto.

Por preferencias no satisfechas o “no saciedad local” se implica que una compra cualquiera (ya sea de un bien o conjunto o canasta de bienes) no ha agotado los deseos de compras del consumidor. Técnicamente, eso se expresa diciendo que para cualquier “canasta de compra” adquirida existe otro u otros, arbitrariamente similares, tales que serían preferidos. Más formalmente, para cualquier transacción x en el universo de posibles transacciones (X) de preferencia positivas (E) habría un tal que y, consecuentemente, se prefiería .

Un equilibrio competitivo o general o walrasiano se refiere al que se establece en el mercado de una economía real cuando las relaciones entre riqueza general, bienes en oferta, precios, etc., lleva a un funcionamiento económico que tiende a perpetuarse. (en el caso de un solo tipo de mercadería, etc., se habla de un equilibrio parcial, es decir, se estableció en ese momento un equilibrio entre oferta y demanda en esa área específica, pero no sabemos que tal situación se repetirá o que sea necesariamente estable en el largo plazo). Equilibrio general incluye tanto los cambios (compra-venta) en la economía como a la asunción de que las empresas son eficientes, tanto del punto de vista de la asignación como de la producción. En este argumento, lo que interesa específicamente es que los precios llevan a ventas. Se puede fácilmente demostrar que lo anterior sigue de la asunción más general acerca de mercados (tanto de factores de producción como de productos) perfectamente competitivos.

Considérese una transacción o “solución” (S) (compra venta real) entre dos individuos. Tal transacción será parte de la totalidad de posibles compraventas entre dos individuos cualquiera. Todos esos posibles intercambios definen un espacio o “plano” de todas las posibles relaciones (soluciones) entre compras, ventas y precios (). Supóngase, además, que dentro de tal universo existe una solución () en la cual cada participante ha obtenido el máximo de beneficios posible. (Esa situación es llamada dominancia, Así, por ejemplo, si la relación S1 es preferida a la solución S2, S1 domina a S2. De acuerdo con esta terminología, S* “domina” a todas las S) La desviación de tal situación implica que ya sea uno o el otro ya sea perderá o no obtendrá parte de los beneficios posibles o se abstendrá de participar en el intercambio. Cuando tal situación (S*) es generalizada en una economía, se está en el Óptimo de Pareto.

Supóngase que las condiciones generales del equilibrio económico walrasiano rigen o son válidas. Es decir, la riqueza (R) de un país es igual a la suma (∑) de los bienes (B) que todos los habitantes (h) de ese país poseen multiplicado por el valor o precio (p) de esos bienes más la suma de dinero que esos habitantes poseen. Pero ese dinero es igual a -puede ser descrito como- la suma de los bienes producidos (P) que todas las empresas (e) han producido o poseen en ese momento determinado, multiplicado por los precios (p) de esos bienes. Más formalmente:

donde ∑h Rh es la riqueza total; Bh, el agregado de bienes de todos los h; Pe, el producto de las empresas e, y p es el precio.

Asúmase, finalmente, que esos bienes, precios y riqueza, etc., establecen una relación (Sn) tal que es parte de la totalidad de posibles relaciones entre esos factores, pero es diferente de aquella (S*) que Pareto llama óptima.

Considérese: La maximización de preferencias implica que:

(No es necesario considerar el caso en el cual la preferencia por Sn sea menor que por S*, porque tal situación implicaría que los individuos escogen transacción es que no dan tanto beneficio como desearían o podrían obtener o -alternativamente- que escogen “ser menos ricos” que lo que podrían, situación que no se observa a menudo.)

Si la preferencia por Sn > S*, entonces Bh∙p> Rh.

(en otras palabras, si una transacción Sn es preferida a S*, la relación entre bienes y precios sería mayor que la que la riqueza de los individuos permite. Es decir, no se puede obtener)

Si preferencia Sn ≥ S*, entonces Bh ⋄ p ≥ Rh.

(para verlo, imaginese la misma situación (Sn ≥ S*) pero con Bh ⋄ p< Rh. Es decir, la relación bienes y precios es menor que la que la riqueza general establece o permite. Podríamos encontrar entonces una relación Sn tal que fuera preferida a S*. Pero S* es, por definición, la preferida u óptima en términos de maximizar beneficios. Sigue entonces que cada individuo preferiría Bh ⋄ p ≥ Rh, es decir, maximizar su riqueza.)

Ahora, considérese en general una relación de factores (x, y ...) que fuera dominante de acuerdo con Pareto (x*,y*). Esto significa que un parámetro cualquiera (x) será mayor en x* que en algunos de los otros casos y mayor o igual en todos.Para establecer dominancia de acuerdo con Pareto basta y sobra que un parámetro cualquiera sea preferido mientras los otros son iguales. Esto implica que en el universo de posible compras preferidas, un parámetro cualquiera será a lo menos igual en todos los casos y, posiblemente, mejor en algunos. En la notación que estamos empleando, mejor equivale a mayor. Ver nota siguiente Es decir, x ≥ x* . (Nota necesaria Nótese que en la notación generalmente empleada -por Pareto y otros- los símbolos están invertidos. Es decir que , de acuerdo al formalismo que se encuentra generalmente en textos económicos, la relación entre los posibles parámetros (..x,y..) utilizados por los participantes para evaluar beneficio DISMINUYEN. Así, una posible relación (S1) será preferida a otra (S2) cuando al menos un parámetro (x) es menor en S1 que en S2 (x1 < x2). y los otros (y, z) son iguales. Si bien esta inversión de símbolos no vicia el argumento, es necesario tenerlo presente.

Pero, por lo anterior, sabemos que Rh ⋄ p ≥ Rh.

Sumarizando se encuentra que Sn no puede ser diferente a S*. De serlo, no se podría obtener Rh ⋄ p ≥ Rh.

Esto significa que, dada una relación estable a largo plazo (equilibrio walrasiano) en la cual la riqueza de una sociedad en su conjunto es igual a la suma de todos los bienes -poseídos y en circulación en esa sociedad- multiplicado por el precio de esos bienes y asumiendo tanto que los individuos busquen maximizar su riqueza a través de escoger relaciones de intercambio que les sean individualmente favorables como la posibilidad real de implementar esas opciones, se llegara a una situación óptima, o eficiente, de acuerdo con la definición de Pareto.

Este resultado se considera generalmente como una vindicación de la propuesta inicial de la economía clásica (ver mano invisible y Ley de Say) (pero ver más abajo: discusión)

Leandro Lyra Braga Dognini en "Procesos Estocásticos Non-Tâtonnement y el Principio de Atracción" (2025) demuestra el "Primer Teorema del Bienestar Estocástico".

Paul Milgrom y Mitchell Watt (2025) en "Un mecanismo walrasiano con margen para mercados no convexos" demuestran el "Primer Teorema del Bienestar en Forma Acotada".

Segundo teorema fundamental Este segundo teorema fue propuesto originalmente por Abba Lerner en su “ Economía del Control”LERNER, Abba.: Economía del Control. México, Fondo de Cultura Económica (1951)