En teoría de números, la conjetura de Cramér, formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936, dice que

donde pn denota el n-ésimo número primo y "log" denota el logaritmo natural. Esta conjetura aún no ha sido demostrada ni refutada, y es improbable que lo sea en un futuro cercano. Se fundamenta en un modelo probabilístico (en esencia, una heurística) de los números primos, en el cual se presupone que la probabilidad de que un número natural sea primo es . Este modelo se conoce como el modelo de Cramér de los números primos. De ahí, se puede demostrar que la conjetura es cierta con probabilidad uno.David Hawkins, "The Random Sieve", Mathematics Magazine 31 (1957), pp. 1–3.

Shanks conjeturó la igualdad asintótica de diferencias maximales entre primos consecutivos, un enunciado más fuerte.Daniel Shanks, "On Maximal Gaps between Successive Primes", Mathematics of Computation 18, No. 88 (1964), pp. 646–651.

También Cramér formuló otra conjetura sobre diferencias entre primos consecutivos:

que demostró presuponiendo la (aún por demostrar) hipótesis de Riemann.

Además, E. Westzynthius demostró en 1931 queE. Westzynthius, Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors, 5 (1931), pp. 1–37.

Conjetura de Cramér-Granville Puede que la conjetura de Cramér sea demasiado fuerte. Andrew Granville conjeturó en 1995A. Granville, "Harald Cramér and the distribution of prime numbers", Scandinavian Actuarial J. 1 (1995), 12—28. que existe una cota para la cual . Maier propuso

Nicely. ha calculado muchas diferencias grandes entre primos consecutivos. Ha medido la compatibilidad con la conjetura de Cramér midiendo la razón R entre el logaritmo de un número primo y la raíz cuadrada de la diferencia con el siguiente. «Para las mayores diferencias maximales que se conocen», dice, «R se ha mantenido cerca de 1,13», lo que muestra que, al menos entre los números que ha observado, el refinamiento de Granville de la conjetura de Cramér parece ajustarse bien a los datos.

Resultados probados condicionalmente sobre la separación entre primos Cramér dio un prueba condicional de una declaración mucho más débil, que implica que

en el supuesto de que se cumpliera la hipótesis de Riemann. El postulado incondicional más conocido es el que indica que

debido a Baker, Harman y Pintz.R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562

En otra dirección, E. Westzynthius demostró en 1931 que la separación entre primos crece más que logarítmicamente. Es decir,.

Su resultado fue mejorado por Robert Alexander Rankin,R. A. Rankin, The difference between consecutive prime numbers, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247 que demostró que

Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue probado en 2014 por Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin y Terence Tao.K. Ford, B. Green, S. Konyagin, and T. Tao, Large gaps between consecutive prime numbers. Ann. of Math. (2) 183 (2016), no. 3, 935–974

Justificación heurística La conjetura de Cramér se basa en un modelo probabilístico, esencialmente heurístico, en el que la probabilidad de que un número de tamaño x sea primo es 1/log x. Esto se conoce como el modelo aleatorio de Cramér o modelo de Cramér de los números primos.Terence Tao, 254A, Supplement 4: Probabilistic models and heuristics for the primes (optional), section on The Cramér random model, January 2015.

En el modelo aleatorio de Cramér,

con probabilidad 1. Sin embargo, como señaló Andrew Granville,. el teorema de Maier demuestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de primos en intervalos cortos. Por ello, un refinamiento del modelo de Cramér teniendo en cuenta la divisibilidad por pequeños primos sugiere que (), donde es la constante de Euler-Mascheroni. János Pintz ha sugerido que el límite superior puede ser infinito,János Pintz, Very large gaps between consecutive primes, Journal of Number Theory 63:2 (April 1997), pp. 286–301. y de manera similar Leonard Adleman y Kevin McCurley escribieron que: Como resultado del trabajo de H. Maier sobre los espacios entre números primos consecutivos, la formulación exacta de la conjetura de Cramér ha sido cuestionada [...] Todavía es probablemente cierto que para cada constante , hay una constante tal que hay un primo entre y .Leonard Adleman and Kevin McCurley, Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlin, 1994.

Conjeturas y heurística relacionadas

Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér,. para la separación entre primos:

J.H. Cadwell propuso la siguiente fórmula para las separaciones máximas:

que es formalmente idéntica a la conjetura de Shanks, pero que sugiere un término de orden inferior.

Marek Wolf propuso la siguiente fórmula para las separaciones máximas

expresadas en términos de la función contador de números primos :

donde y es el doble de la constante de los primos gemelos; consúltese , . Usando la aproximación de Gauss , se obtiene

que para grande también es asintóticamente equivalente a las conjeturas de Cramér y Shanks: .

Thomas Nicely ha localizado numerosos saltos entre primos consecutivos de gran longitud.. Esto le ha permitido estimar la calidad de ajuste de la conjetura de Cramér midiendo la relación

Escribe: "Para las separaciones entre primos consecutivos más grandes conocidas, se ha mantenido cerca de 1,13". Sin embargo, sigue siendo inferior a 1.

Véase también Teorema de los números primos Cifrado César

Referencias

Categoría:Teoría analítica de números Cramer Cramér, conjetura Categoría:Problemas sin resolver en teoría de números