En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, los espacios Fréchet, que llevan el nombre de Maurice Fréchet, son espacios vectoriales topológicos especiales. Son generalizaciones de espacios de Banach (espacio vectorial normado que es completo con respecto a la métrica inducida por la norma). Todos los espacios de Banach y de Hilbert son espacios de Fréchet.
Los espacios de funciones infinitamente diferenciables son ejemplos típicos de espacios de Fréchet, muchos de los cuales son típicamente espacios que no son de Banach.
Un espacio de Fréchet se define como un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo y metrizable que es completo como EVT, lo que significa que cada sucesión de Cauchy en converge en algún punto en (consúltese la nota al pie para obtener más detalles).Aquí el término "de Cauchy" hace referencia a la uniformidad canónica que poseen todos los espacios vectoriales topológicos. Es decir, una secuencia en un espacio vectorial topológico es de Cauchy si y solo si para todos los entornos del origen en siempre que y sean suficientemente grandes. Debe tenerse en cuenta que esta definición de una secuencia de Cauchy no depende de ninguna métrica en particular y ni siquiera requiere que sea metrizable.
Nota importante: No todos los autores requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo (discutido más abajo).
La topología de todo espacio de Fréchet es inducida por algún simetría traslacional métrico completo. Por el contrario, si la topología de un espacio localmente convexo es inducida por una métrica completa invariante en la traslación, entonces es un espacio de Fréchet.
Fréchet fue el primero en usar el término "espacio de Banach" y Banach, a su vez, acuñó el término "espacio de Fréchet" para referirse a espacios vectoriales topológicos metrizables completos, sin el requisito de convexidad local (dicho espacio hoy en día a menudo se llama F-espacio).
La condición de localmente convexo fue añadida posteriormente por Nicolas Bourbaki. Es importante tener en cuenta que un número considerable de autores (por ejemplo, Schaefer) usan el término F-espacio para referirse a un espacio de Fréchet (localmente convexo), mientras que otros no requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo. Además, algunos autores incluso usan "F-espacio" y "espacio de Fréchet" indistintamente.
Al consultar literatura matemática, se recomienda que el lector verifique siempre si la definición del libro o artículo de "F-espacio" y de "espacio de Fréchet" requiere o no convexidad local.
Definiciones
Los espacios de Fréchet se pueden definir de dos formas equivalentes: el primero emplea una métrica de invariante a la traslación, y el segundo una familia de seminormas numerable.
Definición métrica invariante
Un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:
Es un espacio localmente convexo.Algunos autores no incluyen la convexidad local como parte de la definición de un espacio de Fréchet. Su topología puede ser inducida por una métrica invariante a la traslación, es decir, una métrica tal que para todo Esto significa que un subconjunto de es abierto si y solo si para cada existe un tal que es un subconjunto de Algunas (o de manera equivalente, todas) las métricas invariantes a la traslación en que inducen la topología de son completas. Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en y se define completamente en términos de sustracción de vectores y entornos del origen de ; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en es idéntica a esta uniformidad canónica).
Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.
Definición de familia contable de seminormas
La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:
Es un espacio de Hausdorff Su topología puede ser inducida por una familia contable de seminormas . Esto significa que un subconjunto es abierto si y solo si para cada existe y tal que es un subconjunto de Es completo con respecto a la familia de seminormas.
Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en y se define completamente en términos de la resta de vectores y los entornos del origen de ; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en es idéntica a esta uniformidad canónica).
Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.
Como espacios de Baire tejidos
Comparación con los espacios de Banach
A diferencia de los espacios de Banach, la métrica completa invariante a la traslación no necesita surgir de una norma. Sin embargo, la topología de un espacio de Fréchet surge tanto de una paranorma total como de una F-norma (la "F" significa de Fréchet).
Aunque el espacio topológico de los espacios de Fréchet es más complicado que el de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, aún se mantienen muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de la función abierta, el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de Banach-Steinhaus.
Construcción de espacios de Fréchet
Recuerde que una seminorma es una función de un espacio vectorial a los números reales que satisfacen tres propiedades. Para todos los y todos los escalares
Si , entonces es de hecho una norma. Sin embargo, las seminormas son útiles porque nos permiten construir espacios de Fréchet, como sigue:
Para construir un espacio de Fréchet, normalmente se comienza con un espacio vectorial y se define una familia contable de seminormas en con las siguientes dos propiedades: si y para todos los entonces ; si es una secuencia en que es Cauchy con respecto a cada seminorma entonces existe tal que converge a con respecto a cada seminorma
Luego, la topología inducida por estas seminormas (como se explicó anteriormente) convierte a en un espacio de Fréchet; la primera propiedad asegura que es Hausdorff y la segunda propiedad asegura que está completa. Una métrica completa invariante en la traducción que induce la misma topología en se puede definir mediante
La función asigna monótonamente a y, por lo tanto, la definición anterior garantiza que es "pequeño" si y solo si existe "grande", de modo que es "pequeño" para .
Ejemplos
En análisis funcional puro
Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante a la traducción y el espacio es completo con respecto a esta métrica. El espacio de todas las secuencias de valor real se convierte en un espacio de Fréchet si se define la seminorma -ésima de una secuencia como el valor absoluto del elemento -ésimo de la secuencia. La convergencia en este espacio de Fréchet es equivalente a la convergencia de elementos.
En variedades suaves
El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas
para cada entero no negativo Aquí, denota la -ésima derivada de y En este espacio de Fréchet, una secuencia de funciones converge hacia el elemento si y solo si para cada entero no negativo la secuencia converge uniformemente .
El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas
para todos los enteros Entonces, una sucesión de funciones converge si y solo si para todo las sucesiones convergen compactamente.
El espacio vectorial de todas las funciones continuamente diferenciables -tiempos se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas
para todos los enteros y
Si es una variedad compacta y es un espacio de Banach, entonces el conjunto de todas las funciones infinitamente diferenciables se puede convertir en un espacio de Fréchet usando como seminormas la suprema de las normas de todas las derivadas parciales. Si es una variedad (no necesariamente compacta) que admite una secuencia numerable de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de está contenido en al menos un , entonces los espacios y también son espacios de Fréchet de manera natural.
Como caso especial, cada variedad completa suave de dimensión finita se puede convertir en una unión anidada de subconjuntos compactos: equípese con una variedad de Riemann que induce una métrica , elíjase ; y entonces
Sea una -variedad compacta y un fibrado vectorial sobre Sea el espacio de secciones uniformes de sobre Elíjanse métricas y conexiones riemannianas, cuya existencia está garantizada, en los haces y Si es una sección, denótese su derivada covariante jth por Entonces
(donde es la norma inducida por la métrica de Riemann) es una familia de seminormas que convierten a en un espacio de Fréchet.
En espacios de funciones holomorfas
Sea el espacio de funciones enteras (en todas partes holomorfas) en el plano complejo. Entonces la familia de seminormas
convierte en un espacio Fréchet.
Sea el espacio de funciones enteras (holomorfas en todas partes) de tipo exponencial Entonces, la familia de seminormas
convierte en un espacio de Fréchet.
No todos los espacios vectoriales con métricas invariantes de traducción completas son espacios de Fréchet. Un ejemplo es el espacio con
Aunque este espacio no es localmente convexo, es un F-espacio.
Propiedades y otras nociones
Si un espacio de Fréchet admite una norma continua, entonces todas las seminormas utilizadas para definirlo pueden ser reemplazadas por normas añadiendo esta norma continua a cada una de ellas.
Un espacio de Banach, con compacto, y todos admiten normas, mientras que y no lo hacen.
Un subespacio cerrado de un espacio de Fréchet es un espacio de Fréchet. Un cociente de un espacio de Fréchet por un subespacio cerrado es un espacio de Fréchet. La suma directa de un número finito de espacios de Fréchet es un espacio de Fréchet.
Un producto de numerosos espacios de Fréchet contables vuelve a ser siempre un espacio Fréchet. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios de Fréchet será un espacio de Fréchet si y solo si todos "excepto algunos" de ellos son triviales (es decir, tienen dimensión 0). En consecuencia, un producto de innumerables espacios de Fréchet no triviales no puede ser un espacio de Fréchet (de hecho, dicho producto ni siquiera es metrizable porque su origen no puede tener una base de entorno contable). Entonces, por ejemplo, si es cualquier conjunto y es cualquier espacio de Fréchet no trivial (como , por ejemplo), entonces el producto es un espacio de Fréchet si y solo si es un conjunto contable.
Varias herramientas importantes de análisis funcional que se basan en el teorema de categorías de Baire siguen siendo válidas en los espacios de Fréchet; ejemplos son el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de la función abierta. Precisamente, el teorema de la función abierta implica que si son topologías en que convierten tanto como en espacios vectoriales topológicos completos metrizables (como los espacios de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ).