Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.
La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).
Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.
Ecuaciones Siendo (donde ) y , con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:
pero x no es igual a A
donde:
Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:
donde: y .
Sabiendo que , y , obtenemos las ecuaciones siguientes:
el ángulo varía de 0 a 2π.
Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde .
Las hipocicloides son casos particulares, donde (el punto fijo de la generatriz) {| | thumb|300px|Hipotrocoide alargada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 1,5). | thumb|300px|Hipotrocoide acortada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 0,5.
Aplicaciones
Los espirografos (son juguetes para dibujar) crean hipotrocoides. Las hipotrocoides definen el soporte de los autovalores de matrices aleatorias con correlaciones cíclicas. Curvas cíclicas Curva cíclica
{| class="wikitable" | colspan=5 align="center" | La directriz es una recta |- align="center" | d = r | d < r | d > r |-align="center" | cicloide | colspan=2 | trocoide |- align="center" | cicloide normal | cicloide acortada | cicloide alargada
{| class="wikitable" | colspan=5 align="center" | La directriz es una circunferencia |- align="center" | | d = r | d < r | d > r |-align="center" |rowspan="2" | La generatriz es exterior a la directriz | epicicloide | colspan=2 | epitrocoide |- align="center" | epicicloide normal | epicicloide acortada | epicicloide alargada |- align="center" |rowspan="2" | La generatriz es interior a la directriz | hipocicloide | colspan=2 | hipotrocoide |- align="center" | hipocicloide normal | hipocicloide acortada | hipocicloide alargada |- align="center" |rowspan="2" | La directriz es interior a la generatriz | pericicloide | colspan=2 | peritrocoide |- align="center" | pericicloide normal | pericicloide acortada | pericicloide alargada
Véase también
Epitrocoide Hipocicloide
Referencias
Enlaces externos
Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques. «Hipotrocoide». Encyclopédie des formes mathématiques remarquables (en francés).
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