250px|miniatura|derecha|Una teselación de Penrose
Una Teselación de Penrose o suelo de baldosas de Penrose es una teselación no periódica generada por un conjunto aperiódico de baldosas prototipo nombradas en honor a Roger Penrose, quien investigó esos conjuntos en la década de los 70. Debido a que todas las teselaciones obtenidas con las baldosas de Penrose son no periódicas, las teselaciones de Penrose han sido consideradas como teselaciones aperiódicas.
Un teselación de Penrose tiene varias propiedades remarcables: Es no periódica, lo cual significa que carece de simetría traslacional alguna. Dicho de manera informal, una copia desplazada nunca concordará con el original de forma exacta. Cualquier región finita en una teselación aparece un número infinito de veces en esa teselación y de hecho, en cualquier otra teselación. Esta propiedad podría ser trivialmente verdadera en una teselación con simetría translacional, pero es no trivial cuando se aplica en las teselaciones no periódicas de Penrose. Es un cuasicristal: implementada como una estructura física, una teselación de Penrose producirá una difracción de Bragg cuyo patrón de difracción revela la simetría subyacente de orden cinco y el orden en un margen amplio. Este orden refleja el factor por el cual la teselación está organizada, no a través de simetría rotacional, pero sí a través de un proceso algunas veces llamado “deflación” o “inflación”.
Robert Ammann descubrió de forma independiente la teselación al mismo tiempo que Penrose.
Varios métodos para construir las teselaciones han sido propuestos, por ejemplo reglas de acomodo, sustituciones, mecanismos de corte y proyección y coberturas.
Antecedentes históricos Los conjuntos de baldosas propuestos por Penrose están entre los ejemplos más simples de un hecho matemático no intuitivo, la existencia de conjuntos aperiódicos. En 1961, Hao Wang notó conexiones entre problemas de geometría (especialmente acerca de las teselaciones) y una cierta clase de problema de decisión. Por un lado, observó que si el llamado Problema dominó no fuese recursivo, entonces tendría que existir un conjunto aperiódico de baldosas. Como la existencia de dicho conjunto no parecía plausible, Wang conjeturó que el Problema Dominó es recursivo.
En su tesis de 1964, Robert Berger desmintió la conjetura de Wang, probando que el Problema Dominó es de hecho no recursivo y que producía un conjunto aperiódico de 104 baldosas distintas (en su monografía, Berger muestrabs todavía un conjunto más extenso de 20.426 baldosas).
El número fue reducido por Donald Knuth, Hans Läuchli y Raphael Robinson quienes dieron un conjunto aperiódico de solo seis baldosas (que simplificaron la demostración matemática de Berger) en un elegante documento de 1971. R.M. Robinson, Undecidability and nonperiodicity of tilings in the plane, Inv. Math 12 (1971), 177-190. En 1972, Roger Penrose obtiene la primera de diversas variaciones de baldosas forzando una estructura pentagonal jerárquica, un conjunto de seis baldosas. Durante los años siguientes, otras variaciones fueron encontradas, con la participación de Raphael Robinson, Robert Ammann y John H. Conway.
En 1981 De Bruijn explicó un método para construir las teselaciones de Penrose por medio de cinco familias de líneas paralelas, así como un “método de corte y proyección” en el cual las baldosas de Penrose eran obtenidas con las proyecciones en dos dimensiones de una estructura cúbica de cinco dimensiones. De esta forma la teselación de Penrose es considerada como un conjunto de puntos, es decir, sus vértices, mientras que sus baldosas son solo formas geométricas definidas al conectar sus vértices.
La teselación de Penrose original (P1) miniatura|izquierda|Una teselación construida del conjunto original de Penrose (P1) de seis baldosas La teselación de Penrose original fue propuesta en 1974 en un documento titulado el papel de la estética en la investigación pura y aplicada. Penrose R., Bull. Inst. Maths. Appl. 10 (1974) 266 No más de una quinta parte del documento trata de ello, pero Penrose admite que la teselación fue el tema real. Más tarde Penrose reconoce la inspiración del trabajo de Johannes Kepler. En su libro Harmonices Mundi Kepler exploró teselaciones construidas por medio de pentágonos y se demostró que su construcción podía ser extendida en una teselación de Penrose. Luck R., Dürer-Kepler-Penrose: the development of pentagonal tilings, Mat. Sci. Eng. 294-6 (2000) 263-7 En un principio los trazos de esta idea ya estaban hechos en un trabajo de Durero.
Al intentar llenar de baldosas el plano con pentágonos regulares es necesario dejar huecos. Penrose encontró una particular forma de teselado en el cual los huecos podían ser llenados con otras formas: una estrella, un bote y un diamante como se muestra a la izquierda. En adición a las baldosas, las reglas de comienzo de Penrose, usualmente llamadas reglas de ensamble, especifican como las baldosas deben ser unidas entre sí; estas reglas son necesarias para asegurarse de que las teselaciones sean no periódicas. Como hay tres conjuntos distintos de reglas de ensamble para baldosas pentagonales, es común considerar al conjunto como si tuviera tres baldosas pentagonales diferentes, mostradas con colores diferentes en la ilustración. Esto resulta en un conjunto de seis baldosas: un rombo delgado o 'diamante', una estrella de cinco picos, un 'bote' (aproximadamente 3/5 de una estrella) y tres pentágonos.
200px|miniatura|derecha|La Teselación de Penrose pentagonal (P1) en negro sobre una teselación rómbica coloreada de fondo (P3). Penrose encontró más tarde dos conjuntos más de baldosas aperiódicas, uno consistiendo en baldosas conocidas como 'cometa' y 'flecha' (P2) y un segundo conjunto consistiendo en dos rombos (P3). La traslación entre la teselación P1 y su correspondiente teselación P3 es ilustrada a la derecha.
Teselación rómbica (P3) Los rombos de Penrose son un par de rombos de lados iguales pero de formas diferentes.
250px|izquierda|miniatura|Dos tipos de reglas de ensamble para los rombos de Penrose
El rombo más delgado t tiene cuatro esquinas con ángulos de 36, 144, 36 y 144 grados. El rombo t podría ser bisectado a lo largo de su diagonal menor para formar un par de triángulos de Robinson. El rombo grueso T tiene ángulos de 72, 108, 72 y 108 grados. El rombo T podría ser bisectado a lo largo de su diagonal mayor para formar un par de triángulos de Robinson obtusos.
Hay 54 combinaciones ordenadas cíclicamente que suman hasta 360° en un solo vértice, pero las reglas de las teselación solo permiten que aparezcan 7 de esas combinaciones. Las baldosas ordinarias en forma de rombo pueden ser usadas para llenar el plano de forma periódica, por lo que hay restricciones que deben de hacerse sobre como las baldosas pueden ser ensambladas. La regla más simple, prohíbe que dos baldosas de la misma naturaleza sean colocadas juntas para formar un paralelogramo simple, esto es suficiente para asegurar la aperiodicidad.Las publicaciones al contrario parecen ser ampliamente publicadas; un contraejemplo es :Archivo:PenroseBogus.GIF Aun así, las reglas están hechas para distinguir los lados de las baldosas y requerir que solo lados particulares puedan ser colocados juntos entre las baldosas. Un ejemplo de reglas para encajar de forma adecuada es mostrada en la parte de arriba en el diagrama de la izquierda. La baldosas deben ser ensambladas de manera que las curvas que cruzan sus bordes concuerden en color y posición. Una condición equivalente es que las baldosas deben ser ensambladas de tal manera que las muescas de sus bordes encajen juntos. Las mismas reglas pueden ser establecidas para otras formulaciones.
Hay una gran cantidad de patrones finitos arbitrarios con simetría de grado diez y que cuando mucho tienen un punto de centro de simetría de grado diez global donde diez ejes de simetría lo cruzan. Como la teselación es aperiódica, no hay simetría translacional, el patrón no puede ser desplazado para que coincida consigo mismo en el plano entero. Sin embargo, cualquier región delimitada, no importa cuán grande, será repetido un número infinito de veces dentro de la teselación. Por eso un finito número de patrones no pueden ser diferenciados entre las incontables teselaciones de Penrose, ni siquiera para determinar en que posición se está dentro de la baldosa que está siendo mostrada. La única manera de distinguir las dos teselaciones simétricas de Penrose de las otras es que su simetría continue al infinito.
Los rombos pueden ser cortados a la mitad para formar un par de triángulos, llamados los triángulos de Robinson, los cuales pueden ser usados para producir las teselaciones de Penrose con una sustitución de baldosas. Los triángulos de Robinson son los triángulos isósceles 36°-36°-108° y 72°-72°-36°. Cada uno de estos triángulos tienen los bordes en la relación de (1+√5):2, la razón dorada. Las reglas que hacen cumplir la aperiodicidad en una teselación de triángulos de Robinson hacen a los triángulos asimétricos, y cada triángulo aparece en conjunción con sus reflejos para formar un rombo, una cometa o una flecha.
Dibujando la teselación de Penrose P3 La teselación rómbica de Penrose puede ser dibujada usando el siguiente Sistema-L (sistema de Lindenmayer):
250px|miniatura|derecha|Evolución del Sistema-L para n=1,2,3,4,5 y 6
variables: 1 6 7 8 9 [ ] Constantes: + -; Inicio: ++++++++ Reglas: 6 → 81++91----71[-81----61]++ 7 → +81--91[---61--71]+ 8 → -61++71[+++81++91]- 9 → --81++++61[+91++++71]--71 1 → (eliminado en cada iteración) Ángulo: 36º
Aquí 1 significa "dibuja al frente", + significa "gira a la izquierda el ángulo" y - significa "gira a la derecha el ángulo" (vea gráficas tortuga). La [ significa guardar la posición presente y la dirección para restaurarlas cuando el correspondiente ] sea ejecutado. Los símbolos 6, 7, 8 y 9 no corresponden a ninguna acción, están ahí solo para producir la evolución correcta de la curva.
Las baldosas de la cometa y la flecha (P2)
Los cuadriláteros llamados la 'cometa' y la 'flecha' también son usados para formar una teselación de Penrose
250px|izquierda|miniatura|Las baldosas de la cometa y la flecha
La cometa es un cuadrilátero cuyas cuatro esquinas tienen ángulos de 72, 72, 72 y 144 grados. La cometa puede ser bisecada a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos acutángulos de Robinson. La flecha es un cuadrilátero no convexo (cóncavo) que tiene cuatro ángulos interiores que son de 36, 72, 36 y 216 grados. La flecha puede ser bisectada a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos obtusángulos de Róbinson
Los arcos verde y rojo en la baldosa limitan el posicionamiento de las baldosas: cuando dos baldosas comparten un borde en una teselación, los patrones deben concordar con estos bordes. Por ejemplo, el vértice cóncavo de una flecha no puede ser llenado simplemente con una cometa, pero puede ser llenado con un par de cometas.
La deflación Un método de substitución conocido como deflación se describe a continuación el cual produce una cometa y una flecha de la teselación de Penrose. Comenzando con una teselación finita llamada el axioma, la deflación procede con una secuencia de pasos llamados generaciones. El axioma puede ser tan simple como una sola baldosa. En una generación de deflación, cada baldosa es remplazada con una o más baldosas nuevas que cubren exactamente el área de la baldosa original. Las nuevas baldosas son versiones de tamaño reducido de las baldosas originales. Las reglas de substitución garantizan que las nuevas baldosas estarán arregladas de acuerdo con las reglas de ensamble.