En matemáticas, las identidades de Newton, también conocidas como las fórmulas Newton-Girard, son dos maneras diferentes de describir la raíz de un polinomio. Concretamente, relacionan las sumas de potencias con los polinomios simétricos elementales. Evaluada en las raíces de un polinomio mónico P en una variable, permiten expresar las sumas de la potencia k-n de todas las raíces de P (contadas con su multiplicidad) en términos de los coeficientes de P, sin encontrar en realidad aquellas raíces. Estas identidades fueron encontradas por Isaac Newton alrededor de 1666, aparentemente ignorando el trabajo anterior (1629) de Albert Girard.
Estas identidades tienen aplicaciones en muchas áreas de matemática, incluyendo la teoría de Galois, teoría de invariantes, teoría de grupos, combinatoria, así como más aplicaciones fuera de la matemática, incluyendo la relatividad general. Enunciado matemático
Formulación en términos de polinomios simétricos Sean x1, ..., xn variables, denotar k ≥ 1 por pk(x1, . .., xn) la k-ésima suma de potencias:
y para k ≥ 0 denote por ek(x1, ..., xn) el polinomio simétrico elemental (es decir, la suma de todos productos distintos de k variables distintas), por lo que
Entonces las identidades de Newton se pueden establecer como
expresión válida para todos los y .
Además,
para todos los .
Concretamente, se obtiene para los primeros valores de k:
La forma y la validez de estas ecuaciones no dependen del número n de variables (aunque sí lo hace el punto donde el lado izquierdo se convierte en 0, es decir, después de la identidad n-ésima), lo que hace es posible enunciarlos como identidades en el anillo de funciones simétricas. En ese anillo se tiene que:
y así; aquí los lados izquierdos nunca se vuelven cero. Estas ecuaciones permiten expresar recursivamente la ei en términos de la pk; para poder hacer lo contrario, se puede reescribirlos como
En general, se tiene que
enunciado válido para todo n ≥ 1 y n ≥k ≥ 1.
Además,
para todo k > n ≥ 1.
Aplicación a las raíces de un polinomio El polinomio con raíces xi se puede expandir como
donde los coeficientes son los polinomios simétricos definidos anteriormente. Dadas las sumas de potencias de las raíces
los coeficientes del polinomio con raíces pueden expresarse recursivamente en términos de las sumas de potencias como
Formular polinomios de esta manera es útil para usar el método de Delves y Lyness para encontrar los ceros de una función analítica.
Aplicación al polinomio característico de una matriz
Cuando el polinomio anterior es el polinomio característico de una matriz A (en particular cuando A es la matriz compañera del polinomio), las raíces son los valores propios de la matriz, contados con su multiplicidad algebraica. Para cualquier entero positivo k, la matriz Ak tiene como valores propios las potencias xik, y cada valor propio de A aporta su multiplicidad a la del valor propio xik de Ak. Entonces, los coeficientes del polinomio característico de Ak están dados por los polinomios simétricos elementales en esas potencias xik. En particular, la suma de xik, que es la k-ésima suma de potencias pk de las raíces del polinomio característico de A, viene dada por su traza:
Las identidades de Newton ahora relacionan las trazas de las potencias Ak con los coeficientes del polinomio característico de A. Usándolas a la inversa para expresar los polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias, se pueden utilizar para encontrar el polinomio característico calculando solo las potencias Ak y sus trazas.
Este cálculo requiere obtener las trazas de las potencias de la matriz Ak y resolver un sistema triangular de ecuaciones. Ambos se pueden hacer en la clase de complejidad NC (la resolución de un sistema triangular se puede hacer por el procedimiento de divide y vencerás). Por lo tanto, el polinomio característico de una matriz se puede calcular en NC. Por el teorema de Cayley-Hamilton, toda matriz satisface su polinomio característico, y una transformación simple permite encontrar la matriz de adjuntos en NC.
La reorganización de los cálculos en una forma eficiente conduce al "algoritmo de Faddeev-LeVerrier" (1840). Una versión rápida del mismo con cálculos en paralelo se debe a L. Csanky (1976). Su desventaja es que requiere división por enteros, por lo que en general el cuerpo debe tener la característica 0.
Relación con la teoría de Galois
Para un n dado, los polinomios simétricos elementales ek(x1,...,xn) para k = 1 ,..., n forman una base algebraica para el espacio de polinomios simétricos en x1,.... xn: toda expresión polinomial en xi que es invariante bajo todas las permutaciones de esas variables está dada por una expresión polinómica en esos polinomios simétricos elementales, y esta expresión es única hasta la equivalencia de expresiones polinómicas. Este es un hecho general conocido como teorema fundamental de los polinomios simétricos, y las identidades de Newton proporcionan fórmulas explícitas en el caso de polinomios simétricos de suma de potencias. Aplicado al polinomio mónico con todos los coeficientes ak considerados como parámetros libres, esto significa que toda expresión polinomial simétrica S(x1,...,xn) en sus raíces puede expresarse en cambio como una expresión polinomial P(a1,...,an) en términos de sus coeficientes solamente, en otras palabras, sin requerir conocimiento de las raíces. Este hecho también se deriva de consideraciones generales en la teoría de Galois (donde los ak se consideran como elementos de un cuerpo base con raíces en un cuerpo de extensión cuyo grupo de Galois las permuta de acuerdo con el grupo simétrico completo, y el cuerpo fijo bajo todos los elementos del grupo de Galois es el cuerpo base).
Las identidades de Newton también permiten expresar los polinomios simétricos elementales en términos de los polinomios simétricos de suma de potencias, mostrando que cualquier polinomio simétrico también se puede expresar en sumas de potencias. De hecho, las primeras sumas de potencias n también forman una base algebraica para el espacio de polinomios simétricos.
Identidades relacionadas
Hay una serie de (familias de) identidades que, si bien deben distinguirse de las identidades de Newton, están muy estrechamente relacionadas con ellas.
Variante que utiliza polinomios simétricos homogéneos completos
Denotando como hk el polinomio simétrico homogéneo completo que es la suma de todos los monomios de grado k, los polinomios de suma de potencias también satisfacen identidades similares a las identidades de Newton, pero sin incluir ningún signo menos. Expresados como identidades en un anillo de funciones simétricas, se leen como
expresión válida para todos los n ≥ k ≥ 1. Al contrario de las identidades de Newton, los lados de la izquierda no se vuelven cero para valores de k grandes, y los lados de la derecha contienen cada vez más términos distintos de cero. Para los primeros valores de k, se tiene que
Estas relaciones pueden justificarse mediante un argumento análogo al de la comparación de coeficientes en series de potencias dado anteriormente, basado en este caso en la función generadora identidad
Las pruebas de las identidades de Newton, como las que se dan a continuación, no se pueden adaptar fácilmente para probar estas variantes de esas identidades.
Expresión de polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias
Como ya se ha mencionado, las identidades de Newton se pueden usar para expresar polinomios simétricos elementales recursivamente en términos de sumas de potencias. Hacerlo requiere la introducción de denominadores enteros, lo que se puede hacer en el anillo ΛQ de funciones simétricas con coeficientes racionales:
etcétera.Nota: los coeficientes de los términos del producto ponderado en la suma dada por la identidad anterior están relacionados con los números M2 en la Sección 26.4 de la DLMF y/o los coeficientes involucrados en las expansiones de la fórmula de Faà di Bruno La fórmula general se puede expresar convenientemente como
donde Bn es la exponencial completa de los polinomios de Bell. Esta expresión también conduce a la siguiente identidad para generar funciones:
Aplicadas a un polinomio mónico, estas fórmulas expresan los coeficientes en términos de las sumas de potencias de las raíces: reemplaza cada ei por ai y cada pk por s k.
Expresión de polinomios simétricos homogéneos completos en términos de sumas de potencias
Las relaciones análogas que involucran polinomios simétricos homogéneos completos se pueden desarrollar de manera similar, dando las ecuaciones
y así sucesivamente, en las que solo hay signos más. En términos del polinomio de Bell completo,
Estas expresiones corresponden exactamente a los polinomios de índice cíclico de los grupos simétricos, si se interpretan las sumas de potencias pi como indeterminadas: el coeficiente en la expresión para hk de cualquier monomio p1m1 p2m2...plml es igual a la fracción de todas las permutaciones de k que tienen m1 puntos fijos, m2 ciclos de longitud 2, ..., y ml ciclos de longitud l. Explícitamente, este coeficiente se puede escribir como donde ; esta N es el número de permutaciones que conmutan con cualquier permutación dada π del tipo de ciclo dado. Las expresiones para las funciones simétricas elementales tienen coeficientes con el mismo valor absoluto, pero un signo igual al signo de π, a saber (−1)m2+m4+....
Se puede probar considerando el siguiente paso inductivo:
Por analogía con la derivación de la función generadora del , también podemos obtener la función generadora del , en términos de las sumas de potencias, como:
Esta función generadora es, por tanto, la exponencial plethystica de .
Expresión de sumas de potencias en términos de polinomios simétricos elementales
También se pueden usar las identidades de Newton para expresar sumas de potencias en términos de polinomios simétricos elementales, lo que no introduce denominadores:
Las primeras cuatro fórmulas fueron obtenidas por Albert Girard en 1629 (por lo tanto, antes que Newton).
La fórmula general (para todos los enteros positivos m) es:
Esto puede expresarse convenientemente en términos de polinomios de Bell ordinarios como
o equivalentemente como función generadora:
que es análoga a la función generadora exponencial de los polinomios de Bell dada en la subsección previa.
La fórmula de suma múltiple anterior se puede probar considerando el siguiente paso inductivo:
Expresión de sumas de potencias en términos de polinomios simétricos homogéneos completos
Finalmente, se pueden usar las identidades variantes que involucran polinomios simétricos homogéneos completos de manera similar para expresar sumas de potencias en términos de ellos:
y así sucesivamente. Aparte de la sustitución de cada ei por la correspondiente hi, el único cambio respecto a la anterior familia de identidades está en los signos de los términos, que en este caso dependen únicamente del número de factores presentes: el signo del monomio es −(−1)m1+m2+m3+.... En particular, la descripción anterior del valor absoluto de los coeficientes también se aplica aquí.
La fórmula general (para todos los enteros no negativos m) es:
Expresiones como determinantes
Se pueden obtener fórmulas explícitas para las expresiones anteriores en forma de determinantes, considerando la primera n de las identidades de Newton (o sus contrapartes para los polinomios homogéneos completos) como ecuaciones lineales en las que se conocen las funciones simétricas elementales y las sumas de potencias son incógnitas (o viceversa), y aplicando la regla de Cramer para encontrar la solución para la incógnita final. Por ejemplo, tomando las identidades de Newton en la forma
se consideran y como incógnitas, y se resuelve la última, dando