thumb|Una exposición de poliedros uniformes en el Museo de Ciencias de Londres thumb|El pequeño icosicosidodecaedro romo es un poliedro uniforme estrellado, con figura de vértice 35.5/2 En la geometría, un poliedro uniforme estrellado es un poliedro uniforme autointersecado. A veces también se les llama poliedros uniformes no convexos. Pueden estar formado ya sea por polígonos no convexos, por figuras de vértice no convexas o por ambas.
El conjunto completo de los 57 poliedros uniformes estrellados no prismáticos incluye las 4 figuras regulares, llamadas sólidos de Kepler-Poinsot, 5 figuras cuasiregulares, y 48 figuras semiregulares.
Existen también dos conjuntos infinitos de prismas estrellados uniformes y antiprismas estrellados uniformes.
De la misma forma que los polígonos estrellados (no degenerados), con densidad mayor a 1, corresponden a polígonos circulares con partes sobrepuestas, los poliedros estrellados que no pasan por su centro tienen densidad mayor a 1, y corresponden a poliedros esféricos con partes sobrepuestas; hay 47 tales poliedros uniformes no prismáticos. Los 10 poliedros uniformes no prismáticos restantes, aquellos que pasan por el centro, son los hemipoliedros junto con el Monstruo de Miller, y no tienen densidades bien definidas.
Las formas no convexas se construyen a partir de triángulos de Schwarz.
Todos los poliedros uniformes están enlistados abajo por sus grupos de simetría, y subdivididos por sus disposiciones de vértices.
Los poliedros regulares se etiquetan por su Símbolo de Schläfli. Los demás poliedros uniformes no regulares están listados junto con su figura de vértice.
Nota: Para las formas no convexas siguientes, un descriptor adicional no uniforme se utiliza cuando la disposición de vértices de la envolvente convexa tiene la misma topología que una de estas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma cantelada no uniforme podría tener rectángulos creados en el lugar de las aristas, en vez de cuadrados.
Simetría diedral Véase: Poliedro prismático uniforme
Simetría tetraédrica
Hay una forma no convexa, el tetrahemihexaedro que tiene simetría tetraédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (3 3 2)).
Hay dos triángulos de Schwarz que generan poliedros uniformes estrellados únicos: un triángulo rectángulo ( 3 3) y un triángulo general ( 3 3). El triángulo general ( 3 3) genera el octahemioctaedro, el cual se encuentra más adelante debido a su simetría octaédrica completa.
Configuración de vértices(Envolvente convexa)Formas no convexasTetraedro Tetraedro rectificadoOctaedro4..4.3 3 | 2Tetraedro truncado Tetraedro cantelado(Cuboctaedro) Tetraedro omnitruncado(Octaedro truncado) Tetraedro romo(Icosaedro)
Simetría octaédrica
Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (4 3 2)).
Hay cuatro triángulos de Schwarz que generan formas no convexas, dos triángulos rectángulos ( 4 2) y ( 3 2), y dos triángulos generales ( 4 3), ( 4 4). Configuración de vértices(Envolvente convexa)Formas no convexasCubo Octaedro Cuboctaedro 3 3Cubo truncado 2Octaedro truncado Rombicuboctaedro 4 Cuboctaedro truncadono uniformeCuboctaedro truncadono uniformeCubo romo
Simetría icosaédrica
Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas con simetría icosaédrica (con dominio fundamental de triángulo de Möbius (5 3 2)), o 47 formas no convexas si se incluye la figura de Skilling. Algunas de las formas romas no convexas poseen simetría de reflexión en los vértices. Configuración de vértices(Envolvente convexa)Formas no convexas Icosaedro {5,} {,5} {3,} Icosaedro truncadono uniforme 5 2 Icosaedro truncadono uniforme 2 3 Icosaedro truncadono uniforme 3 3 Icosidodecaedro 3.10..10 5.10..10 3 5 3 3 Dodecaedro truncadono uniforme 3 Dodecaedro truncadono uniforme Dodecaedro {,3} 3 5 (3.5)3/2 | 3 5 Pequeño rombicosidodecaedro 5 Rombicosidodecaedrono uniforme 3 Rombicosidodecaedrono uniforme 3 5 Rombicosidodecaedrono uniforme 3 3 Figura de Skilling(ver abajo) Icosidodecaedro truncadono uniforme Dodecadodecaedro truncadono uniformeIcosidodecaedro truncadono uniforme Dodecaedro romono uniforme 2 5 3 5 2 3 2 3 2 5 2
Casos degenerados Coxeter identificó un número de poliedros estrellados degenerados creados por el método de construcción de Wythoff, que contienen aristas o vértices sobrepuestos. Estas formas degeneradas incluyen las siguientes: Pequeño icosidodecaedro complejo Gran icosidodecaedro complejo Pequeño rombicosidodecaedro complejo Gran rombicosidodecaedro complejo Rombidodecadodecaedro complejo
Figura de Skilling
Un último poliedro no convexo degenerado es el gran dirrombidodecaedro birromo, también conocido como figura de Skilling. Sus vértices presentan una configuración uniforme, pero posee parejas de aristas coincidiendo en el espacio, de manera que cuatro caras se unen en algunas aristas. Debido a esta propiedad, se considera un poliedro uniforme degenerado. Posee simetría Ih.
Véase también Polígono estrellado Anexo:Poliedros uniformes Anexo:Poliedros uniformes por el triángulo de Schwarz
Referencias
Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900.
Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993.
Messer, Peter W. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals., Discrete & Computational Geometry 27:353-375 (2002).
Enlaces externos
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