En geometría y álgebra, una variedad lineal es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Geométricamente, es la generalización a cualquier número de dimensiones de las rectas y los planos. También es el concepto análogo al de subespacio vectorial en el ámbito de la geometría afín (es decir, una variedad lineal es la denominación correcta de lo que intuitivamente denominaríamos «subespacio afín»). Definición
Sea un subconjunto no vacío X de un espacio vectorial E sobre K, X se llama variedad lineal en E si para todo f, g de X y todo α, β de K : α f + β g está en X.Lugovaia-- Sherstniov Analisis funcional ISBN 978-5-396-00526-6
En espacio afín Sea un cuerpo. Sea un espacio afín definido sobre . Se dice que es una variedad lineal si es también un espacio afín definido sobre cierto espacio vectorial y con cierta aplicación .
Definiciones alternativas Siguiendo con la notación anterior, si es el espacio vectorial asociado a , se dice que es variedad lineal si existen un subespacio vectorial y un de manera que .
Equivalencia con la primera definición Vamos a ver que todo subconjunto definido como es, en efecto, un espacio afín definido sobre el espacio vectorial y con la restricción de a los elementos de , por lo que es una variedad lineal según la primera definición:
Para acabar de demostrar que las dos definiciones son equivalentes, vamos a ver el recíproco: si tenemos un subconjunto tal que es un espacio afín sobre un espacio vectorial y con una aplicación , entonces se puede expresar como , con y subespacio vectorial de . Vamos a ver que se puede expresar como .
Operaciones con variedades lineales
Intersección Dado un cuerpo y un espacio afín definido sobre y dadas dos variedades lineales , , con y subespacios, definimos la intersección de y como
.
Diremos que y se cortan si .
Esto nos permite afirmar que si y se cortan, entonces es una variedad lineal, pues si y tienen un punto en común, entonces
y esta es la forma que tienen en general las variedades lineales.
Suma Dado un cuerpo y un espacio afín definido sobre y dadas dos variedades lineales , , con y subespacios, definimos la suma de y como la variedad lineal más pequeña que contiene a y a a la vez, y la denotamos como .
es una variedad lineal, pues
y esta es la forma que tienen en general las variedades lineales.
Fórmula de Grassmann para variedades lineales Si definimos la dimensión de una variedad lineal como la dimensión de (), y consideramos las variedades lineales y , tenemos las siguientes igualdades:
1. Si ,.
2. Si , .
Referencias
Categoría:Álgebra lineal Categoría:Geometría afín