Triángulo sagrado egipcio, o triángulo egipcio,«Triángulo egipcio» es utilizado también por Viollet-le-Duc para designar a un triángulo de base 8 y altura 5, que él encuentra como elemento director del trazado vertical de varias catedrales góticas, una de ellas Notre-Dame de París. En el «Tratado sobre Isis y Osiris» de Plutarco se menciona su empleo por los egipcios, quienes lo habrían derivado del triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5). es el nombre moderno del triángulo rectángulo cuyo lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o sus medidas guardan estas proporciones. Es el triángulo rectángulo más fácil de construir y, posiblemente, se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones arquitectónicas desde la más remota antigüedad. El triángulo rectángulo semejante, de 15, 20, 25 codos egipcios, se empleó en el Antiguo Egipto y fue llamado «Isíaco» (de la diosa Isis).

miniatura|260px|El triángulo egipcio, de medidas 3, 4, 5.

Origen del nombre Aunque no se conoce de donde proviene su nombre, se sabe que los antiguos tenían una geometría sagrada que posiblemente era mantenida como doctrina secreta por los sacerdotes, y se ejerció en Babilonia, en el Antiguo Egipto y en la Antigua Grecia. Cualquiera haya sido la razón, este triángulo tiene numerosas propiedades notables.

Propiedades Este triángulo, tan conocido y utilizado para obtener ángulos rectos, tiene muchas propiedades, tanto aritméticas o geométricas, como de coincidencias con períodos astronómicos, tales como el período de revolución sinódica de un planeta visible a simple vista o los múltiplos mínimos comunes de varios de esos períodos.Después de cinco mil años de uso y estudio, la información está tan dispersa que es casi imposible dar una lista completa del lugar en el que está cada afirmación (todo está publicado y nada aquí es original).

Similitudes con otros triángulos rectángulos Como todo triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras: x² + y² = z²; x = k(m² - n²), y = k(2mn), z = k(m² + n²), donde m y n son enteros positivos de distinta paridad (Ver: números pares e impares) con m > n y k es un entero positivo cualquiera. Si k = 1 tenemos todas las ternas primitivasPor «terna primitiva» se entiende que sus elementos no tienen divisores comunes distintos de uno; o sea, que son primos entre sí dos a dos. y conservando m y n el producto por k cualquiera produce triángulos semejantes de ternas no primitivas, pues k es el divisor común. Algunos autores escriben y = k(mn) y dividen por 2 a los otros términos. Esto cambia las condiciones para m y n, que deben ser, entonces, ambos impares y primos entre sí para que las ternas sean primitivas.

Las soluciones enteras de la ecuación x² + y² = z² son: x = k (u²-v²); y = k 2uv; z = k (u²+v²). Todos son enteros positivos distintos de 0, k un entero arbitrario, u > v enteros de distinta paridad. Para las ternas primitivas k = 1. El triángulo sagrado egipcio es una terna primitiva y su superficie, como la de todos los triángulos rectángulos primitivos, es una expresión cúbica que coincide con la forma algebraica de los números congruentes de Fibonacci. Su expresión algebraica es: uv (u²-v²) = u³v - v³u. Para ternas no primitivas, la superficie es k² uv (u²-v²) y también resulta un número congruente de Fibonacci si u y v son ambos impares. Fibonacci introdujo estos números en su obra Liber quadratorum (1225). No está claro por qué pide que ambos enteros u y v sean impares y luego demuestra que un número de esta clase se transforma en otro de la misma categoría si se lo multiplica por un cuadrado. De esta forma, el más pequeño de ellos es 24 = 3.1 (3²-1²). Pero se obtienen los mismos resultados e identidades si se quita la restricción de que ambos sean impares. Como las expresiones encontradas para las soluciones enteras de la ecuación forman una identidad, también la fórmula vale para números reales, aunque sirve para triángulos rectángulos con catetos desiguales únicamente. Sin embargo, hay que considerar que en la Antigüedad los números enteros se consideraban como segmentos de recta y los racionales eran una razón entre segmentos de rectas. Se buscaba, entonces, resolver triángulos rectángulos de lados enteros. Usando y = mn y dividiendo los otros dos términos por 2 la superficie del triángulo resulta ser la cuarta parte del congruente y un cuarto es el cuadrado de un medio. De esta manera la superficie resulta ser también un congruente, porque un congruente multiplicado por un cuadrado también es un congruente. Si usamos la primera fórmula resolvente, con y = 2mn la superficie del triángulo no es un congruente sino su mitad.

Ángulos agudos La amplitud de sus ángulos agudos es: 36º52'11,631" y 53º7'48,368".

Propiedades aritmético-geométricas Es el triángulo rectángulo diofánticoEl término «diofántico» o «diofantino» fue creado en honor a Diofanto de Alejandría y designa a los problemas en los que interesa encontrar soluciones enteras. En el caso de un triángulo rectángulo, «diofántico» quiere decir que sus lados tienen valores enteros de una unidad de medida arbitraria. menor que pueda ser construido y, además, con un cateto y la hipotenusa números primos. Según estudió Fermat, las únicas hipotenusas primas son de la forma 4m + 1, donde m es un número natural. Cuando la terna que forman los lados tiene elementos primos entre sí se denomina terna primitiva. El doctor Tobías Dantzig, de la Universidad de Columbia, denominó «primarias» a las ternas primitivas con hipotenusa prima, aunque fue Fermat quien hizo la distinción entre hipotenusas primas y compuestas, dando todos los casos posibles de descomposición en suma de dos cuadrados para hipotenusas compuestas. Los catetos primos son de la forma 4m + 3, admitiendo en este caso el cero además de los números naturales para el valor asignado a m.

Si A designa a un ángulo de una circunferencia con el vértice en el centro, y B y C a otros dos, tales que están en progresión aritmética de razón A/5, y A > B > C, los arcos rectificados de tales ángulos forman un triángulo rectángulo semejante al triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5). La sucesión es: 3/5 A, 4/5 A, 5/5 A, que es igual al producto de la terna (3, 4, 5) por un quinto de A. Resulta evidente que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Como ejemplo aclaratorio, tenemos que el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5) tiene sus lados correspondientes a las longitudes rectificadas de los arcos de los ángulos centrales: 171, 8873385º, 229, 1831181º y 286, 4788976º; siendo la razón de la progresión aritmética el ángulo de un radián: 57,29577951º, que es la quinta parte de 286, 4788976º. Existe una correspondencia biunívoca entre un arco y el ángulo que lo abarca y conserva las operaciones, por lo que es un isomorfismo. De ello resulta que la suma de los cuadrados de los dos ángulos menores es igual al cuadrado del mayor.

El triángulo contiene al primer par de números primos gemelos. Si llamamos «n» al valor de un lado de la terna primitiva, cada uno de ellos permite calcular otro par de números primos gemelos, de acuerdo con las siguientes fórmulas: - 1 y + 1.

Propiedades musicales y de proporciones La escala natural, escala perfecta o escala de Claudio Ptolomeo, que es una modificación de la escala por intervalos de quinta de Pitágoras, comienza por la nota DO, que corresponde a la unidad, y a una frecuencia de 264 Hz = f (o ciclos por cada segundo); continúa RE: 9/8 f = 27/24 f - 297 Hz; MI: 5/4 f = 30/24 f - 330 Hz; FA: 4/3 f =32/24 f - 352 Hz; SOL: 3/2 f = 36/24 f - 396 Hz; LA: 5/3 f = 40/24 f - 440 Hz; SI, 15/8 f = 45/24 f - 495 Hz; DO, 2 f = 48/24 f - 528 Hz.

La nota FA es la media armónica de la octava y SOL corresponde a sesqui veces el Do inicial (está sesqui-relacionada con el DO). Tanto el SOL como el DO que completa la octava representan a los catetos del triángulo sagrado egipcio (3/2, 2, 5/2), de igual forma en sus proporciones como en sus frecuencias. La hipotenusa del triángulo está en la octava siguiente y corresponde a la nota MI, 5/2 = 60/24 - 660 Hz (la proporción tomada desde el Do inicial de la anterior escala). Los triángulos (3/2, 2, 5/2), (3, 4, 5) y (396, 528, 660) son semejantes. El tercero es 264 veces el primero y 132 veces el segundo.

Si dibujamos un triángulo sagrado egipcio, su recta de Euler parte del vértice del ángulo recto hasta el punto medio de la hipotenusa. El vértice del ángulo recto es el ortocentro y en la mitad de la hipotenusa se halla el circuncentro, que permite trazar la circunferencia que circunscribe al triángulo. Esa recta divide al triángulo en dos triángulos isósceles, cuyos ángulos, no idénticos, son, respectivamente: 106° 15' 36,737" y 73° 44' 23,263". El valor que toma la función seno (véase Trigonometría) del último ángulo es igual a 24/25, el número por el que hay que multiplicar una nota de la escala natural para obtener su bemol. En realidad, el cociente 24/25 no es el coeficiente que corresponde a la escala de Claudio Ptolomeo, sino a la escala física o "Gama de los Físicos" de Zarlino. Las escalas pitagórica, natural o de Zarlino son formalmente diferentes, pero prácticamente indistinguibles. El oído humano promedio no percibe la diferencia entre las tres escalas e, inclusive, entre la escala introducida por Bach, en la que las notas están desafinadas con respecto a la escala pitagórica en un doceavo de tono, como máximo.

Lados en progresión aritmética La semi-sección meridiana de la Gran Pirámide es un triángulo rectángulo cuyos lados son proporcionales a los números 1, en la base, la raíz cuadrada del número áureo, para la altura, y el número áureo para la hipotenusa, que corresponde a la apotema de la pirámide. Este triángulo es el único que tiene sus lados en progresión geométrica y el que hace posible que se cumpla matemáticamente la propiedad enunciada por Heródoto: que el cuadrado de la altura de la pirámide es igual a la superficie de una cara. La segunda pirámide de Guiza, también conocida como la pirámide de Kefrén, tiene un semi-triángulo meridiano proporcional al triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5), el único que tiene a sus lados en progresión aritmética. Dicho triángulo tiene la base proporcional a 3 y la altura a 4. Esto hace que la pirámide de Kefrén, más pequeña que la Gran Pirámide, se vea como más alta e importante. Las dos afirmaciones acerca de los triángulos con lados en progresiones aritmética y geométrica de sus lados fueron demostradas por W. A. Price, en The Field, Londres, según afirma Matila Ghyka. La pirámide Norte de Dahshur, la tercera del grupo, se semi-secciona en el triángulo rectángulo proporcional al triángulo (20, 21, 29).

Área y relación a los cubos de sus lados