En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Desde un punto de vista geométrico, el arcoseno de un número , denotado corresponde al arco cuyo seno es .
La función seno no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Al restringir su dominio en se obtiene una función inyectiva y por tanto con función inversa.
Propiedades Es una función inyectiva, estrictamente creciente. Como arcsen(-x) = -arcsenx, su gráfica es simétrica respecto al origen (0: 0) Su valor mínimo = -0.5π; su valor máximo = 0.5π. El origen de coordenadas es punto de inflexión con un ángulo de inclinación de 45° Bronshtein- Semendiaev: Manual de matemáticas Editorial Mir, Moscú, 2º edición'' Es una función continua en todo su dominio. El cero de la función es 0. La gráfica corta al eje x en (0; 0) Es una función diferenciable, además analítica lo que permite un desarrollo en serie de potenciasConceptos que figuran en un libro de análisis matemático y aplicable a esta función
Serie de potencias El desarrollo en serie de potencias del arcoseno viene dado por:
Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes. A continuación se da una pequeña demostración de tal desarrollo.
Extensión a la recta real y los números complejos Como función analítica el arcoseno puede extenderse a valores fuera del dominio [-1,1] e incluso complejos. Para valores reales del argumento por encima de +1, la función toma valores complejos:
Para valores menores que -1, se tiene en cuenta que:
Eso completa la extensión a los números reales, aunque fuera del intervalo [-1,+1] los valores de la función son complejos.
Aplicaciones En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.
Véase también Trigonometría Identidad trigonométrica Referencias y notas
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