Una ecuación en diferencias es una expresión que relaciona distintas sucesiones, siendo una de ellas una sucesión desconocida.

Son similares a las ecuaciones diferenciales, sustituyendo las funciones por sucesiones.

Para su resolución suele utilizarse el método de la transformada Z

Ecuación de coeficientes lineales constantes

La ecuación de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal, basada en la ecuación de la media autorregresiva.

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por , si no es cero, normalizando la ecuación LCCD puede ser escrita

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual se define en función de las salidas anteriores , la entrada actual , y las entradas anteriores . Introducción Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias son herramientas versátiles de análisis. Son una excelente representación de un gran número de situaciones dinámicas y su teoría asociada es suficientemente rica para suministrar elementos para su comprensión.

Múltiples problemas de significativa importancia en diversos campos del saber humano, requieren para su estudio de la elaboración de un modelo matemático que los represente. Estos modelos están constituidos principalmente por Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Diferencias. Esto se evidencia por el hecho que dentro de las matemáticas aplicadas, las Ecuaciones Diferenciales juegan un papel muy importante en las disciplinas científicas. En sus inicios aparece en problemas mecánicos y geométricos, posteriormente su campo de aplicación se va extendiendo a todas las ramas de la física y en los últimos años es común encontrarlas aplicadas a disciplinas tan diversas como la biología, la economía, la ingeniería, la sociología y la fisiología, entre otras.

De más reciente aparición son las Ecuaciones en Diferencias, las cuales han adquirido una importancia relevante con el creciente estudio y simulación de sistemas discretos en las diferentes disciplinas que modelan y estudian sistemas discretos como la ingeniería y la economía, dado que este tipo de modelamiento es más ajustado a la realidad.

Por otra parte es una área importante en otras carreras como Ingenierías y Economía, lo cual nos permite ver que tiene un extenso campo teórico como práctico, ele-mental en el perfeccionamiento de dichas carreras, con lo cual podemos observar que es de gran interés el estudio de las Ecuaciones en Diferencias, ya que sería de gran apoyo a estas el poder encontrar artículos básicamente enfocados a las Ecuaciones en Diferencias.

Historia “Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han descifrado tales problemas y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la geometría. Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solución de la ecuación: x2-x = 870. Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x, y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a 870, para obtener 3.481/4. Ahora, tómese la raíz cuadrada de 3.481/4 para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación"

Durante el desarrollo de la historia encontramos una primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. C. a 1700 d. C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b

x + ax + bx = 0

donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón, por montón eran conocidos los números enteros.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".

En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24

La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.

Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.

Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. C. a 300 d. C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del ) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4anchura + longitud = 7 manos

longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:

y + 4x = 28

y + x = 10

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias son herramientas versátiles de análisis. Son una excelente representación de un gran número de situaciones dinámicas y su teoría asociada es suficientemente rica para suministrar elementos para su comprensión.

Conceptos Básicos y Teoremas Una ecuación en diferencias es una expresión del tipo: G(n, f(n), f(n + 1), . . . , f(n + k)) = 0, ∀n ∈ Z, donde f es una función definida en Z.

Si después de simplificar esta expresión quedan los términos f(n + k1) y f(n + k2) como el mayor y el menor, respectivamente, se dice que la ecuación es de orden

k = k1− k2.

Ejemplo 1 .- La ecuación:

5f(n + 4) − 4f(n + 2) + f(n + 1) + (n − 2)3 = 0 es de orden 4 − 1 = 3.

Una ecuación en diferencias de orden k se dice lineal si puede expresarse de la forma: p0(n)f(n+k)+p1(n)f(n+k−1)+. . .+pk(n)f(n) = g(n), donde los coeficientes pi son funciones definidas en Z.

El caso más sencillo es cuando los coeficientes son constantes pi(n) = ai:

a0f(n + k) + a1f(n + k − 1) + . . . + akf(n) = g(n).

La ecuación en diferencias se dice homogénea en el caso de que g(n) = 0, y completa en el caso contrario.

Teorema 1 - Dada la ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes y de orden k:

a0f(n + k) + a1f(n + k − 1) + . . . + akf(n) = g(n), el problema de hallar una función f definida en Z, que verifique la ecuación, y tal que en los k enteros consecutivos n0, n0+1, . . . , n0+k−1 tome los valores dados c0, c1, . . . , ck−1, tiene solución única.

Teorema 2 - Dada una ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes y de orden k entonces, si una solución f es nula en k enteros consecutivos, es idénticamente nula.

Teorema 3 - Toda combinación lineal de soluciones de una ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes y de orden k es también solución de dicha ecuación.

Se llama sistema fundamental de soluciones de una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden k a todo conjunto {f1, f2, . . . , fk} de soluciones de dicha ecuación que verifica para algún n0 ∈ Z que la matriz fundamental es inversible, esto es:

Teorema 4 - Sea {f1, f2, . . . , fk} un sistema fundamental de soluciones de una ecuación en diferencias lineal. Entonces:

1. D(n) 0, ∀n ∈ Z.

2. Toda solución de la ecuación homogénea es combinación lineal de f1, f2, . . . , fk, es decir:

3. Si z(n) es una solución de la ecuación completa, entonces toda solución de dicha ecuación se puede escribir como la suma de z(n) y de la solución general de la ecuación homogénea, esto es:

Observación 1 .- Frecuentemente se suele denotar yn+j = f(n + j), con lo cual la ecuación en diferencias se escribe:

a0 yn+k + a1 yn+k−1 + . . . + ak yn = gn, ∀n ∈ Z.

Ejemplo 2 .- Hallar la ecuación en diferencias que satisface la familia de funciones: f(n)= c12n+c2

Ejemplo 3 .

- Hallar la solución de la ecuación en diferencias no lineal:

yn yn−1 + yn − yn−1 = 0, ∀n ∈ Z, que verifica y0 = c.

Despejando yn se tiene:

, ∀n ∈ Z.

Por tanto sustituyendo:

Es decir:

Ecuaciones Lineales De Primer Orden DEFINICIÓN: Una ecuación en diferencias lineal de primer orden es aquella que puede expresarse como

p1(t)yt+1 + p2(t)yt = q(t),

donde pi(t), i = 1, 2 y q(t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesión q(t) es nula, entonces la ecuación lineal recibe el nombre de ecuación homogénea asociada a la expresión anterior. Cuando las funciones p1(t) y p2(t) son constantes, se dice que la ecuación lineal anterior es de coeficientes constantes.

Este tipo de ecuaciones son muy interesantes en el estudio de dinámica de poblaciones. Suelen aparecer escritas como

yt+1 = p(t)yt + q(t),

donde p(t)yt representa el crecimiento de la población en el tiempo t y q(t) el número de individuos que en el tiempo t se incorporan a la población como consecuencia de la inmigración.