miniatura|Codex Vigilanus, con los primeros números arábigos.
miniatura|Página del Compendio de cálculo por compleción y comparación escrito por Al-Juarismi.
La matemática islámica, también conocida como matemática árabe o matemática musulmana, se enriqueció en forma creciente a medida que los musulmanes conquistaron nuevos territorios. Con rapidez inusitada, el imperio islámico se expandió en todo el territorio que se asienta por las orillas del Mediterráneo, desde Persia (Irán) hasta los Pirineos.
El imperio islámico, establecido a lo largo del Oriente Medio, Asia Central, África del Norte, Iberia, y parte de la India, hizo aportes significativos en matemáticas en el siglo octavo. Aunque la mayor parte de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe, no todos fueron escritos por árabes, dado que, así como el griego era usado en el mundo helenístico, el árabe era usado como el lenguaje escrito de los intelectuales no árabes a lo largo del mundo islámico en aquella época. Junto con los árabes, muchos otros importantes matemáticos islámicos fueron persas.
En el , Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre los números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre los cálculos con números arábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números arábigos en Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, algoritmi, y la palabra álgebra del título de uno de sus trabajos, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Compendio de cálculo por compleción y comparación). Al-Juarismi a menudo es apodado "el padre del álgebra", por sus importantes contribuciones a este campo.The History of Algebra. Louisiana State University. Aportó una meticulosa explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas,Boyer, 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230. "Los seis casos de ecuaciones dadas dejaban agotadas todas las posibilidades de hallar ecuaciones lineales y cuadráticas con raíz positiva; la sistematizacíon y la exhaustividad en la exposición de Al-Juarismi hizo que los lectores tuvieran menos dificultades en el dominio de las soluciones." y fue el primero en enseñar el álgebra en sus formas más elementales.Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263–77: "En cierto sentido, Al-Juarismi tiene más derecho a ser apodado "el padre del álgebra" que Diofanto de Alejandría ya que Al-Juarismi es el primero en enseñar álgebra en sus formas elementales y por sí misma, en tanto que Diofanto está especialmente vinculado con la teoría de números". También introdujo el método fundamental de "reducción" y "balance", refiriéndose a la colocación de los términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales que se encuentran en lados opuestos de una ecuación. Esta operación fue descrita originariamente por Al-Jarismi como al-jabr.Boyer, 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229. "No es del todo cierto que los términos al-jabr y muqabalah signifiquen exactamente eso, pero la interpretación usual es parecida a la implícita en la traducción anterior. La palabra al-jabr probablemente significa algo así como "restauración" o "conclusión" y parece hacer referencia a la transposición de términos restados al otro lado de la ecuación. La palabra muqabalah se refiere a "reducción" o "balance", con el significado de cancelación de los términos que se encuentran en lados opuestos de la ecuación." Su álgebra no solo consistía "en una serie de problemas sin resolver, sino en una exposición que comienza con las condiciones primitivas que se deben dar en todos los prototipos de ecuaciones posibles mediante una serie de combinaciones, a partir de este momento serán objeto de estudio."
El posterior desarrollo del álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el , en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales.Victor J. Katz (1998). History of Mathematics: An Introduction, pp. 255-59. Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. El historiador de las matemáticas, F. Woepcke,F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi. París. elogió a Al-Karaji por haber sido "el primero en introducir la teoría del cálculo algebraico." También en el Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe y desarrolló la función tangente. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en deducir la fórmula de la suma de las ecuaciones cuárticas, usando un método que puede generalizarse para determinar la fórmula general de la suma de cualquier potencia entera. Desarrolló una integración para calcular el volumen de un paraboloide y fue capaz de generalizar sus resultados para las integrales de polinomios de más de cuarto grado. Incluso se acercó bastante a la fórmula general de la integral de polinomios, aunque no estaba interesado en polinomios de grado mayor que cuatro.Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163-74.
En las postrimerías del , Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades en Euclides, un libro sobre los defectos en los Elementos de Euclides, especialmente el postulado de las paralelas, y estableció los fundamentos de la geometría analítica y la geometría no euclídea. También fue el primero en encontrar la solución geométrica a la ecuación cúbica e influyó en la reforma del calendario.
Valoración de la ciencia islámica Durante mucho tiempo, entre los historiadores de la ciencia, se ha sostenido que tras el brillante período alejandrino,La mayor parte de los grandes matemáticos vivieron o estudiaron en la Alejandría ptolemaica. en que los griegos establecieron los fundamentos de la matemática, hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos, a comienzos del , reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran. La percepción común del período de alrededor de mil años entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el quehacer matemático, excepto por algunas traducciones árabes de tratados griegos que preservaron los legados helénicos y que estuvieran a disposición de los europeos al comenzar el .
Muchos historiadores de la ciencia han contribuido a sostener esta visión, ya sea omitiendo cualquier mención a las matemáticas del islam en el desarrollo histórico, o con declaraciones como la de Duhem:
Sin embargo, la investigación reciente muestra un panorama muy diferente de nuestra deuda con los matemáticos del islam. A partir de mediados de la década de 1950, el incansable trabajo de investigadores de distintos orígenes y escuelas, como —por citar solo unos pocos— el estadounidense Edward S. Kennedy en la American University de Beirut, los soviéticos Adolf Yushkévich y Borís RosenfeldBorís Rosenfeld (1917 - 2008) en la Academia de Ciencias de la URSS y el egipcio (residente en Francia) Roshdi Rashed en el CNRS, sus colegas y alumnos, demuestra que muchas de las ideas que previamente se creían brillantes concepciones debidas a matemáticos europeos de los siglos , y fueron desarrolladas por los científicos del islam entre cuatro y nueve siglos antes.
El período del islam medieval puede definirse como el lapso que comprende desde finales del hasta mediados del , con especial énfasis en la «Edad de Oro» situado entre los siglos y . Algunos autores hablan de «matemáticas islámicas», otros de «matemáticas árabes», y finalmente otros las designan como «matemáticas musulmanas». Pero no todos los matemáticos de esos tiempos que trabajaron en áreas controladas por el islam eran musulmanes; algunos eran judíos, otros cristianos de diversas sectas, zoroastrianos, sabeos y de otras confesiones. Ni eran todos ellos árabes; su diversidad incluye persas, tayikos, uzbecos, turcos, magrebíes, españoles. En este artículo se emplea la designación de «matemáticas del islam», como referencia al enorme conglomerado político-económico que, bajo la autoridad de los seguidores del profeta Mahoma, constituyera el conjunto hegemónico del mundo en la Edad Media, extendiéndose desde las fronteras de la China en el Este hasta la península ibérica en Occidente.
Desarrollos y contexto histórico
En el año 642 de nuestra era, los árabes ocuparon Alejandría, lo que les permitió recoger la herencia de la cultura griega, para después prolongarla y perfeccionarla.
Los antecedentes de los desarrollos matemáticos que comenzaron en Bagdad alrededor del año 800 no son aún demasiado claros. Ciertamente que hubo una poderosa influencia proveniente de los matemáticos de la India, cuyo temprano desarrollo de la notación posicional y uso del cero, revistieron gran importancia. Allí comenzó un período de progreso matemático con el trabajo de al-Jwarizmi y la traducción de los textos griegos.
En 762 Al-Mansur, el décimo califa se instaló en Bagdad. Recogiendo los restos de la ciencia alejandrina, convirtió a Bagdad en una capital científica. Harún al-Rashid, quinto califa de la dinastía Abásida, comenzó su reinado el 14 de septiembre de 786. Promovió la investigación científica y la erudición. Las primeras traducciones de textos griegos al árabe, como los Elementos de Euclides por al-Hajjaj, fueron hechas durante su reinado. El séptimo califa, Abd Allah al-Ma'mun, alentó la búsqueda del conocimiento científico aún más que su padre al-Rashid, estableciendo en Bagdad una institución de investigación y traducción: la Casa de la Sabiduría (Bayt al-Hikma). Allí trabajaron al-Kindi y los tres hermanos Banu Musa, así como el famoso traductor Hunayn ibn Ishaq.
En la Casa se tradujeron las obras de Euclides, Diofanto, Menelao, Arquímedes, Ptolomeo, Apolonio, Diocles, Teodosio, Hipsicles y otros clásicos de la ciencia griega. Es necesario enfatizar que estas traducciones fueron hechas por científicos, no por expertos en lenguas ignorantes de las matemáticas, y la necesidad de estas traducciones fue estimulada por las investigaciones más avanzadas de la época.
Uno de los avances más significativos llevados a cabo por los matemáticos del islam (y, sin duda, uno de los más trascendentes en toda la historia de la ciencia) tuvo origen en esa época, con los trabajos de Abu Yafar Mohamed ibn Musa al-Jwarizmi: el álgebra.al Khwarizmi, 1831 Es importante entender que la nueva idea representaba un apartamiento revolucionario del concepto geometricista de los griegos. El álgebra era una teoría unificadora que permitió que los números racionales, los irracionales, las magnitudes geométricas, etc. fuesen tratados como «objetos algebraicos». Ella abrió caminos de desarrollo matemático hasta entonces desconocidos; como señala Rashed:Rashed, 1984.
Alrededor de 40 años después de al-Jwarizmi, aparecerán los trabajos de al-Mahani (nacido en 820), quien concibió la idea de reducir los problemas geométricos como el de la duplicación del cubo a problemas de álgebra. Abu Kamil, nacido en 850, constituye un vínculo importante en el desarrollo del álgebra entre al-Jwarizmi y al-Karaji. Pese a no usar símbolos (escribía en palabras las potencias de ) fue quien comenzó a entender lo que en símbolos actuales escribiríamos como . Nótese que los símbolos no habrán de aparecer en las matemáticas del islam hasta mucho después. Ibn al-Banna y al-Qalasadi usaban símbolos en el , y es sabido que fueron empleados al menos un siglo antes que estos científicos los usaran, en Occidente aparecerían por primera vez en 1591, es decir, no menos de dos siglos más tarde. Su «invención» se atribuye al matemático francés François Viète.