miniatura|Diez mil primeras cifras decimales del número en formato cartel En matemáticas, la constante es uno de los números irracionales y los números trascendentes más importantes.
Es aproximadamente 2.71828 y aparece en diversas ramas de las matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas.
El número , conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.
Juega un papel importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática, la función exponencial, así como lo es de la geometría y el número del análisis complejo y del álgebra.
El número , al igual que el número y el número áureo (φ), es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como , es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales. El valor de truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:
Lista de números – Números irracionalesγ – ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ – τBinario 10.10110111111000010101…Decimal 2.718281828459045235360…Hexadecimal 2.B7E151628AED2A6B…Fracción continua Nótese que la fracción continua no es periódica.
Historia
miniatura|200px|Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.
A diferencia de , la introducción del número en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras de Eli Maor:
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al número explícitamente en su trabajo.
La siguiente aparición de es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva . El número es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.
Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que es descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1.5 dos veces, es decir 1 UM x 1.502 = 2.25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1.254 = 2.4414… En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x = 2.61303…UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expresión:
Bernoulli utilizó el teorema del binomio para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar que ésta es la primera aproximación encontrada para . Incluso si aceptamos ésta como una definición de , sería la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definición que se da de en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará UM con interés compuesto.
El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra para identificar la constante en 1727, y el primer uso de en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación con en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre . Allí mostró que
y dio una aproximación para de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patrón que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que es un número irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.
La pasión que guio a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de nunca pareció replicarse de la misma manera para . Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de . James Whitbread Lee Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo de eran correctos, pero encontró un error que, tras ser corregido por el propio Shanks, arrojó cifras decimales de hasta el lugar 205. De hecho, se necesita alrededor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … para obtener 200 decimales.
Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de en base 10 con 272 cifras exactas.
En 1873, Charles Hermite (1822−1905) logró demostrar que es trascendente. A dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert (también Karl Weierstrass y otros), propuso posteriormente variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.
Definición miniatura|derecha|El área entre el eje y la gráfica , entre y es .
La definición más común de es como el valor límite de la sucesión . En símbolos,
A veces se toma también como punto de partida, resultado de aplicar el teorema del binomio, la serie siguiente:
que se expande como
Otra definición habitual Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2.ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté. dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación
es decir que se define como el número para el que
Propiedades matemáticas y aplicaciones
Análisis matemático
Función exponencial
derecha|e es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).
Para cualquier , la sucesión converge. Podemos denotar dicho límite con :
Se llama función exponencial a la función real cuya variable independiente recorre el conjunto de los números reales, y se define como
El rasgo más relevante de la función exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) coincide con la propia función, es decir,
Además, es la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las ecuaciones diferenciales.
El desarrollo en serie de la función se realiza mediante la fórmula de Maclaurin. Puesto que
la fórmula de Maclaurin se escribe de la siguiente manera:
Suponiendo x=1, se obtiene el valor aproximado del número
Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.V. S. Shipachev. Op. cit.
Problema de Steiner
miniatura|derecha|250px|El máximo global de ocurre en .
Este problema plantea encontrar el máximo absoluto de la función
Este máximo se da precisamente en .
Asimismo, es el mínimo absoluto de la función
definida para . Más en general, la función
alcanza su máximo global en para ; y el mínimo global se encuentra en para .
La tetración infinita
o
converge si y solo si , por un teorema de Leonhard Euler.
Números complejos miniatura|250px|Representación geométrica de la fórmula de Euler
El número presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:
El caso especial con es conocido como identidad de Euler o fórmula mística de Euler
Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática.
de la que se deduce que:
Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:
que es la fórmula de De Moivre.
Probabilidad y estadística
El número también aparece en aplicaciones a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los desarreglos, descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, también conocido como el problema de los sombreros: los invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo, quien los coloca luego en compartimentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto. La respuesta es:
A medida que el número de invitados tiende a infinito, se aproxima a . Más aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es redondeado al entero más cercano, para cada positivo . El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera: sea la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, ..., en sí mismo tenga al menos un punto fijo. Entonces
Otra aparición de en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita de variables aleatorias , …, con distribución uniforme en [0,1]. Sea el menor entero tal que la suma de las primeras observaciones es mayor que 1:
Luego, . Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias.